Opgave 9

Definieer a_1=2018 en a_{n+1}=9^{a_n} voor n=1,2,…
Bepaal de laatste twee cijfers van a_{2018}.

Antwoord

  • We kunnen voor k=1,2,...,10 de laatste twee cijfers berekenen van 9^k. We vinden 9^{10}=3486784401 en eindigt dus op 01.
  • Als (9^{10})^n eindigt op 01, dan zal ook (9^{10})^{n+1} eindigen op 01, want (9^{10})^{n+1}=(9^{10})^n.9^{10}=(\cdots 01).(\cdots 01)=(\cdots 01).
  • Door inductie hebben we dus bewezen dat elke macht van 9^ {10} eindigt op 01.
  • Dan is a_2=9^{2018}=(9^{10})^{201}.9^8=(\cdots01).43046721 en dus eindigt a_2 op 21.
  • Verder is a_3=9^{\cdots 21}=(9^{10})^{\cdots 2}.9^1=(\cdots 01).9=\cdots 09. Bijgevolg eindigt a_3 op 09.
  • Nu is a_4=9^{\cdots 09}=(9^{10})^{\cdots 0}.9^9=(\cdots 01).387420489=\cdots 89.
  • Het is duidelijk dat alle verdere termen van de rij  op 89 zullen eindigen.
  • Dus a_{2018} eindigt op 89.