Bewijs dat geen enkel getal van de vorm
- Veronderstel dat er toch een natuurlijk getal k bestaat zodat
- Dan is
. Omdat het linkerlid even is en omdat
en
dezelfde pariteit hebben, zijn
en
opeenvolgende even getallen.
- Dit betekent ook dat ofwel
ofwel
een viervoud is. Het rechterlid
is dus deelbaar door 8.
- Bij deling door 8 zijn de resten van machten van 3 ofwel 1 ofwel 3. De som
is dus modulo 8, gelijk aan 2,4 of 6 en dus zeker niet deelbaar door 8.
- Bijgevolg kan
nooit een volkomen kwadraat zijn.