Wiskunde is leuk

Nootje 73

Geplaatst op 11 april 2026 door admin

Antwoord

Als de macht van het punt rechtsonderaan berekent ten opzichte van de gegeven cirkel dan is $a^2=16.(16+9)$ .
Hieruit volgt dat $a=20$ .
bereken nu ten opzichte van dezelfde cirkel de macht van het punt linksboven, dan is $b^2=4.(4+9)$ .
Bijgevolg is $b=2\sqrt{13}$ .
Nu is $x=a+b=20+2\sqrt{13}$

Nootje 72

Geplaatst op 28 maart 2026 door admin

Voor welke gehele waarde van k heeft de veelterm $P(x)=x^3-87x^2+181x+k$ drie gehele nulwaarden?

Antwoord

Noem de drie nulwaarden a,b en c.
Dan moet $a+b+c=87$ . Omdat 87 oneven is moeten van $a,b$ en $c$ er twee even en één oneven zijn ofwel moeten ze alle drie oneven zijn.
Verder moet $ab+ac+bc=181$ . Als er twee van de drie nulwaarden even zijn is het linkerlid zeker even en vermits het rechterlid oneven is, is dit onmogelijk.
Bijgevolg zijn de drie nulwaarden alle drie oneven. Stel $a=1+2d,b=1+2e$ en $c=1+2f$ .
Dan moet $(1+2d)(1+2e)+(1+2e)(1+2f)+(1+2f)(1+2d)=181$ . Uitgewerkt geeft dit:
$3+4(d+e+f+de+df+ef)=181$
Dus: $4(d+e+f+de+df+ef)=178$ . Dit is onmogelijk, want het linkerlid is een viervoud en het rechterlid niet.
Er is dus geen gehele waarde van k te vinden waarvoor de gegeven veelterm drie gehele nulwaarden heeft.

Nootje 70

Geplaatst op 4 maart 2026 door admin

Bepaal de som A van alle natuurlijke getallen tussen $\sqrt[3]{2026}$ en $\sqrt{2026}$ .

Antwoord

Omdat $12^3=1728$ en $13^3=2197$ weten we dat $12<\sqrt[3]{2026}<13}$ .
Omdat $45^2=2025$ en $46^2=2116$ weten we dat $45<\sqrt{2026}<46$ .
Dan is $A=13+14+\cdots+45$ .
We kunnen deze som berekenen door de formule te gebruiken van de som van de termen van een rekenkundige rij. Deze som is het product van het gemiddelde van de eerste en laatste term met het aantal termen.
Bijgevolg is
$A=\frac{13+45}{2}\times 33=957$

Nootje 69

Geplaatst op 15 februari 2026 door admin

Zoek een getal x zodat x en x+1 allebei zes delers hebben.

Antwoord

Het aantal delers van een getal wordt bepaald door het product van factoren $e_i+1$ waarbij $e_i$ de exponent is van een priemfactor $p_i$ in de ontbinding in factoren.
Omdat $6=6\times 1$ of $6=3\times 2$ , is het gezochte getal x van de vorm $p^5$ of $p^2q$ .
Er zullen waarschijnlijk meerdere oplossingen bestaan, maar wij zoeken naar de kleinste. Neem dan $x=2^2q$ en $x+1=3^2r$ .
Hieruit volgt dat $4q+1=9r$ ; De kleinste waarde ( $q=2$ kan niet want q is een priemfactor verschillend van 2) die hieraan voldoet is $p=11$ en $r=5$ .
Bijgevolg is $x=44$ .
Als je $x+1$ van de vorm $p^5$ neemt vind je ook snel een oplossing: $x+1=3^5=243$ , dan is $x=242=2\times 11^2$ . Dus 242 is ook een oplossing

nootje 65

Geplaatst op 13 november 2025 door admin

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

$9n+7=9(n+6)-47$ .
$n+6$ is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is $9(n+6)-47$ een even getal als verschil van twee oneven getallen.
Omdat $9n+7$ een volkomen kwadraat moet zijn, moet $9n+7=(2m)^2$ .
Hieruit volgt dat $n=\frac{4m^2-7}{9}$ .
Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking $4m^2-7$ deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
Als $m=2$ dan is $n=1$ wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn.
Als $m=7$ dan is $n=21$ , maar dan is $n+6=27$ en dat is geen priemgetal.
Als $m=11$ dan is $n=53$ en $n+6=59$ en dat is wel priem.
$n=53$ is het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.