Opgave 40

Een convexe zeshoek is ingeschreven in een cirkel met straal r. Twee zijden van deze zeshoek hebben als lengte 7 eenheden , terwijl de vier overige als lengte 20 eenheden hebben. Bepaal de straal van de cirkel.

Antwoord

  • Wat de volgorde van de zijden is, steeds moet minstens aan één zijde met lengte 7 een zijde met lengte 20 aanliggend zijn. Noem de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 20  eenheden 2a en de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 7 eenheden 2b.
  • Door het apothema te trekken op de zijden van de zeshoek vinden we dat \sin a=\frac{10}{r} en \sin b=\frac{3,5}{3}.
  • De som van alle middelpuntshoeken is 360^\circ, dus 2*2b+4*2a=360^\circ. Hieruit volgt dat b+2a=90^\circ.
  • Dan geldt er dat \sin b=\cos 2a=1-2\sin^2 a
  • Volgens een vorig punt is dus 1-2\sin^2 a=\frac{3,5}{r}. Of

        \[1-2\Big(\frac{10}{r}\Big)^2=\frac{3,5}{r}\]

  • Dit geeft een vierkantsvergelijking: 2r^2-7r-400=0
  • De enige positieve oplossing van deze vergelijking is 16.
  • De straal is 16 eenheden lang.

Opgave 39

Bewijs dat geen enkel getal van de vorm

    \[3^m+3^n+1\]

met m en n strikt positieve gehele getallen, een volkomen kwadraat is.

Antwoord

  • Veronderstel dat er toch een natuurlijk getal k bestaat zodat

        \[3^3+3^n+2=k^2\]

  • Dan is 3^m+3^n=(k+1)(k-1). Omdat het linkerlid even is en omdat k-1 en k+1 dezelfde pariteit hebben, zijn k-1 en k+1 opeenvolgende even getallen.
  • Dit betekent ook dat ofwel k-1 ofwel k+1 een viervoud is. Het rechterlid (k-1)(k+1) is dus deelbaar door 8.
  • Bij deling door 8 zijn de resten van machten van 3 ofwel 1 ofwel 3. De som 3^m+3^n is dus modulo 8, gelijk aan 2,4 of 6 en dus zeker niet deelbaar door 8.
  • Bijgevolg kan 3^m+3^n+1 nooit een volkomen kwadraat zijn.

Opgave 38

Antwoord

  • Bekijken we het probleem wat algemener en gebruiken we de eigenschap dat de raaklijnen vanuit een punt aan een cirkel evenleng zijn.
  • Noteren we de straal van de ingeschreven cirkel met x .
  • We passen  nu de stelling van Pythagoras toe: 5^ 2=(x+2)^2+(x+3)^2.
  • Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossing 1 en -6. Bijgevolg is x=1.
  • De gevraagde oppervlakte is dan \frac{1}{2}(2+1)(3+1)=6.

Opgave 36

Wanneer deelt een natuurlijk getal n de uitdrukking 10^k-1 voor een natuurlijke k?

Spoiler

  • Als n een veelvoud is van 2 of 5, dan is de enige mogelijkheid de triviale oplossing k=0.
  • Veronderstel dus verder dat n geen priemfactor 2 of 5 bevat.
  • Noteer met K(n) de kleinste, van 0 verschillende waarde van k, waarvoor n|(10^k-1).
  • Proberen we een aantal waarden uit:
    \begin{array}{c|c} n&K(n) \\ \hline \\ 3&1\\7&6\\9&1\\11&2 \end{array}
  • Stel nu dat n, geen priemfactor 2 of 5 bevat, en een deler is van 10^k-1, dan bestaat er een natuurlijk getal a zodat n.a=10^k-1.
  • Noteer de decimale schrijfwijze van a als a=a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k.
  • Dan is a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k=\frac{10^k}{n}-\frac{1}{n}.
  • Bij deling, van deze laatste vergelijking door 10^k vinden we:

        \[0,a_1\cdots a_{k-1}a_k=\frac{1}{n}-\frac{10^{-k}}{n}\]

  • Als we steeds maar opnieuw delen door 10^k en alle bekomen formules lid per lid bij elkaar optellen vinden we

        \[\frac{1}{n}=0,a_1\cdots a_{k-1}a_ka_1\cdots a_{k-1}a_k\cdots\]

  • Omgekeerd is het eenvoudig te zien dat, als \frac{1}{n} een decimale ontwikkeling zoals hierboven heeft, dat n een deler is van 10^k-1.
  • Besluit: Als n geen priemfactor 2 of 5 bevat, dan in K(n) gelijk aan de lengte  van de periode van \frac{1}{n}.
  • Natuurlijk is elk veelvoud van k ook een goede oplossing.