Opgave 36

Geplaatst op 26 september 2022 door admin

Wanneer deelt een natuurlijk getal n de uitdrukking $10^k-1$ voor een natuurlijke k?

Spoiler

Als n een veelvoud is van 2 of 5, dan is de enige mogelijkheid de triviale oplossing k=0.
Veronderstel dus verder dat n geen priemfactor 2 of 5 bevat.
Noteer met K(n) de kleinste, van 0 verschillende waarde van k, waarvoor $n|(10^k-1)$ .
Proberen we een aantal waarden uit:
$\begin{array}{c|c} n&K(n) \\ \hline \\ 3&1\\7&6\\9&1\\11&2 \end{array}$
Stel nu dat n, geen priemfactor 2 of 5 bevat, en een deler is van $10^k-1$ , dan bestaat er een natuurlijk getal a zodat $n.a=10^k-1$ .
Noteer de decimale schrijfwijze van a als $a=a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k$ .
Dan is $a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k=\frac{10^k}{n}-\frac{1}{n}$ .
Bij deling, van deze laatste vergelijking door $10^k$ vinden we:
$0,a_1\cdots a_{k-1}a_k=\frac{1}{n}-\frac{10^{-k}}{n}$
Als we steeds maar opnieuw delen door $10^k$ en alle bekomen formules lid per lid bij elkaar optellen vinden we
$\frac{1}{n}=0,a_1\cdots a_{k-1}a_ka_1\cdots a_{k-1}a_k\cdots$
Omgekeerd is het eenvoudig te zien dat, als $\frac{1}{n}$ een decimale ontwikkeling zoals hierboven heeft, dat n een deler is van $10^k-1$ .
Besluit: Als n geen priemfactor 2 of 5 bevat, dan in K(n) gelijk aan de lengte van de periode van $\frac{1}{n}$ .
Natuurlijk is elk veelvoud van k ook een goede oplossing.

Opgave 35

Geplaatst op 14 september 2022 door admin

N is een natuurlijk getal. Een goede verdeling van N is een partitie van $\{1,2,\cdots,N\}$ in twee gescheiden, niet lege deelverzamelingen $S_1$ en $S_2$ , zo dat de som van de elementen van $S_1$ gelijk is aan het product van de elementen van $S_2$ . Bewijs dat voor $N\geq 5$ er altijd een goede verdeling bestaat.

Spoiler

Laten we eerst even op verkenning gaan en kijken of we een goede verdeling vinden voor 5,6 en 7.
Voor 5 vinden we $S_1=\{3,5\}$ en $S_2=\{1,2,4\}$ .
Voor 6 vinden we $S_1=\{3,4,5\}$ en $S_2=\{1,2,6\}$ .
Voor 7 vinden we $S_1=\{2,4,5,7\}$ en $S_2=\{1,3,6\}$ .
In deze voorbeelden vinden we $S_21$ van de vorm $\{1,x,y\}$ . Proberen we eens of dit altijd kan!
$S_1$ is het complement van $S_2$ dus we krijgen een goede verdeling als
$\frac{N(N+1)}{2}-1-x-y=xy$
Uitgewerkt geeft dit $(x+1)(y+1)=\frac{N(N+1)}{2}$ .
Als nu $N\geq 5$ en N even is , dan kunnen we voor x en y volgende oplossingen vinden:
$x=\frac{N}{2}-1 \text{ en } y=N$
Als N echter oneven is, vinden we:
$x=\frac{N+1}{2}-1 \text{ en } y=N-1$
We hebben dus een constructie bewijs gegeven van het gevraagde.

Opgave 34: Een integraal…

Geplaatst op 4 maart 2022 door admin

Bereken $A=\int_0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan x) dx$

Gewone methoden werken hier niet.
Als een functie f gedefinieerd is op $\left[a,b\right]$ dan kan je de functie spiegelen rond de middelloodlijn van dit lijnstuk en bekom je de functie $g(x)=f(a+b-x)$ .
Uit de definitie van de bepaalde integraal volgt dan dat $\int_a^bf(x) dx=\int_a^b g(x) dx$ .
Passen we dit toe op de opgave , dan krijgen we: $A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan(\frac{\pi}{4}-x)) dx$ .
Nu is $tan(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{1-tan x}{1+tan x}$ .
Zodat $A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln\Big( \frac{2}{1+ tan x}\Big) dx$ .
Gebruikmakend van de rekenregels voor logaritmen, volgt hieruit dat $A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(2) dx -A$ .
Bijgevolg is $A=\frac{\pi}{8} ln(2)$ .

Nog 2 opgaven over priemgetallen

Geplaatst op 11 oktober 2021 door admin

De som van twee tweelingpriemen, groter dan 3, is deelbaar door 12.

Antwoord

Veronderstel dus dat $p>3$ en dat p en p+2 allebei priem zijn.
Hun som is dan $S=2(p+1)$ .
Omdat p oneven is , is p+1 even en is S dus zeker al deelbaar door 4.
p kan geen drievoud zijn. Het kan evenmin van de vorm $3k+1$ zijn , want anders zou $p+2=3(k+1)$ en dus niet priem zijn.
Bijgevolg is p van de vorm $3k-1$ en dan is $S=6k$ . Dus is S deelbaar door 3 en samen met een vorig resultaat is S dus deelbaar door 12.

Veronderstel dat p een priemgetal is en dat allebei de oplossingen van $x^2+px-444p=0$ gehele getallen zijn, zoek dan de mogelijke waarden van p.

Antwoord

De discriminant van de gegeven vergelijking is $p^2+4*444p$ .
Als de vergelijking gehele oplossingen moet hebben moet dit zeker een volkomen kwadraat zijn , dus is er een gehele q met $q^2=p^2+4*444p=p(p+4*444)$ .
Vermits hierboven p een deler is van het rechterlid en omdat p priem is moet p ook een deler zijn van q en dan kunnen we schrijven dat $q=p.r$ , met r een geheel getal.
Ingevuld vinden we zo dat $p(p+4*444)=p^2r^2$ of $pr^2=p+4*444.$
Hieruit volgt dat p een deler moet zijn van 4*444. De mogelijke waarden voor p zijn dan 2, 3 en 37.
We kunnen p = 2 of p = 3 in de oorspronkelijke vergelijking en we zien dat er dan geen gehele oplossingen zijn. Wel bij p=37.
Er is dus slechts 1 oplossing, namelijk p = 37.