Opgave 34: Een integraal…

Geplaatst op 4 maart 2022 door admin

Bereken $A=\int_0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan x) dx$

Gewone methoden werken hier niet.
Als een functie f gedefinieerd is op $\left[a,b\right]$ dan kan je de functie spiegelen rond de middelloodlijn van dit lijnstuk en bekom je de functie $g(x)=f(a+b-x)$ .
Uit de definitie van de bepaalde integraal volgt dan dat $\int_a^bf(x) dx=\int_a^b g(x) dx$ .
Passen we dit toe op de opgave , dan krijgen we: $A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(1+tan(\frac{\pi}{4}-x)) dx$ .
Nu is $tan(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{1-tan x}{1+tan x}$ .
Zodat $A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln\Big( \frac{2}{1+ tan x}\Big) dx$ .
Gebruikmakend van de rekenregels voor logaritmen, volgt hieruit dat $A=\int _0^{\frac{\pi}{4}} ln(2) dx -A$ .
Bijgevolg is $A=\frac{\pi}{8} ln(2)$ .

Geplaatst op 11 oktober 2021 door admin

De som van twee tweelingpriemen, groter dan 3, is deelbaar door 12.

Antwoord

Veronderstel dus dat $p>3$ en dat p en p+2 allebei priem zijn.
Hun som is dan $S=2(p+1)$ .
Omdat p oneven is , is p+1 even en is S dus zeker al deelbaar door 4.
p kan geen drievoud zijn. Het kan evenmin van de vorm $3k+1$ zijn , want anders zou $p+2=3(k+1)$ en dus niet priem zijn.
Bijgevolg is p van de vorm $3k-1$ en dan is $S=6k$ . Dus is S deelbaar door 3 en samen met een vorig resultaat is S dus deelbaar door 12.

Veronderstel dat p een priemgetal is en dat allebei de oplossingen van $x^2+px-444p=0$ gehele getallen zijn, zoek dan de mogelijke waarden van p.

Antwoord

De discriminant van de gegeven vergelijking is $p^2+4*444p$ .
Als de vergelijking gehele oplossingen moet hebben moet dit zeker een volkomen kwadraat zijn , dus is er een gehele q met $q^2=p^2+4*444p=p(p+4*444)$ .
Vermits hierboven p een deler is van het rechterlid en omdat p priem is moet p ook een deler zijn van q en dan kunnen we schrijven dat $q=p.r$ , met r een geheel getal.
Ingevuld vinden we zo dat $p(p+4*444)=p^2r^2$ of $pr^2=p+4*444.$
Hieruit volgt dat p een deler moet zijn van 4*444. De mogelijke waarden voor p zijn dan 2, 3 en 37.
We kunnen p = 2 of p = 3 in de oorspronkelijke vergelijking en we zien dat er dan geen gehele oplossingen zijn. Wel bij p=37.
Er is dus slechts 1 oplossing, namelijk p = 37.

Geplaatst op 8 oktober 2021 door admin

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat $p^2+q^2+r^2$ geen priemgetal is.

Antwoord

Als $2^k+1$ een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord

Geplaatst op 3 juli 2021 door admin

Antwoord

We zouden de vraag algemener kunnen stellen: schrijf $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ als som van twee kwadraten.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit product gelijk is aan $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ of $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ .
Zo vinden we dat $(5^2+9^2)(12^2+17^2)=93^3+193^3=213^2+23^2$ .
Je kan de oplossing ook vinden door gebruik te maken van complexe getallen.
Zo is $5^2+9^2$ het kwadraat van de modulus van $5+9i$ .
Omdat de modulus van een product gelijk is aan het product van de moduli is $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ het kwadraat van de modulus van o.a. $(5+9i)(12+17i)=-93+193i$ . Zo bekom je hetzelfde resultaat.

Geplaatst op 12 mei 2021 door admin

Antwoord

Proberen we eens uit met 4 getallen en noteer een schikking op de cirkel door bijvoorbeeld ( 1,3,2,4). De waarde van S is dan (3-1)+(3-2)+(4-2)+(4-1)=8.
Als we de schikking (1,2,3,…,20) gebruiken, dan is het positief getelde verschil va twee buren altijd 1 behalve bij de buren 1 en 20. Dus s=19.1+19=38. Dit is duidelijk de minimumwaarde.
Noteer de getallen door $a_1,a_2,...,a_{20}$ . Dan is elk verschil van de vorm $\pm (a_{i+1}-a_i)$ .
Bijgevolg is $S=k_1a_1+k_2a_2+....+k_{20}a_{20}$ met $k_i\in \{2,-2,0\}$ en waarvan de som van alle $k_i$ gelijk is aan 0.
Dan wordt S gemaximaliseerd door $h_1=h_2=...=h_{10}=-2$ en $h_{11}=h_{12}=...=h_{20}=2$ en dan is $S=-2(1+2+...+10)+2(11+12+...+20)=100$ .
Dit kan je effectief verkrijgen door volgende schikking: (1,20,2,19,3,18,…,10,11).