Opgave 43

Geplaatst op 17 mei 2025 door admin

Een rij wordt gedefinieerd als : $a_0=0$ en $a_{k+1}=3a_k+1$ . Toon aan dat $a_{155}$ deelbaar is door 11.

Antwoord

We kunnen de eerste termen van de rij uitrekenen en proberen een regelmaat te vinden voor de termen die deelbaar zijn door 11. Dan kunnen we die regelmaat proberen te bewijzen, misschien wel via inductie.
Omdat het principe van deelbaarheid door 11 centraal staat is het misschien nuttiger de rij van de restklassen modulo 11 te berekenen.
Deze rij heeft als termen: 0,1,4,2,7,0,…. De rij moet zich wel herhalen na een eindig aantal stappen omdat er maar 11 mogelijke waarden zijn voor de restklassen. En inderdaad na 5 termen verschijn er terug een 0 en dus zal elke 5de term van de gegeven rij deelbaar zijn door 11. Bijgevolg is $a_{155}$ deelbaar door 11.
We geven een Pythonprogramma als controle, waarbij we zelfs de 155ste term uitgerekend hebben:

Opgave 42

Geplaatst op 30 maart 2025 door admin

Antwoord

Stel $x=\frac{a}{b}$ ; Dan is $x+x^{-1}=1$ of $x^2-x+1=0$ .
De oplossingen hiervan zijn $\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$ . Het is duidelijk dat de ene oplossing x voorstelt en de andere $x^{-1}$ .
We kunnen deze complexe oplossingen ook schrijven met behulp van de goniometrische notatie: $x=\cos 60^{\circ}+i\sin 60^{\circ}$ en $x=\cos -60^{\circ}+i\sin -60^{\circ}$ .
Nu moeten we $x^{2025}+x^{-2025}$ uitrekenen. We doen dit met de formule van Le Moivre.
$x^{2025}=\cos 2025.60^{\circ}+i\sin 2025.60^{\circ}=\cos 675.180^{\circ}+i\sin675.180^{\circ}$ . Een oneven veelvoud van $180^{\circ}$ maakt de cosinus -1 en de sinus 0.
Dus $x^{2025}=-1$ . Analoog kunnen we $x^{-2025}$ uitrekenen en we vinden $\cos 675.180^{\circ}-i\sin675.180^{\circ}=-1$ .
Bijgevolg is de gevraagde uitdrukking gelijk aan -2.

Geplaatst op 22 december 2024 door admin

Antwoord

Noteer met S de som van alle opgeschreven getallen. Dan is S=1+2+…+2n of
$S=n(2n+1)$
Dus S is oneven omdat n oneven is en 2n+1 ook.
Neem nu twee willekeurig neergeschreven getallen a en b en stel a>b , dan wordt de nieuwe som $S'=S-a-b+a-b=S-2b$ . Omdat je een even getal aftrekt van een oneven S, zal de nieuwe som S’ ook oneven zijn. Voor het geval dat a<b is dit analoog.
De pariteit van de som van alle nog beschikbare getallen is dus een invariante. Met andere woorden, telkenmale we twee getallen schrappen en vervangen door het verschil blijft de som oneven.
Dus het laatst overgebleven getal is oneven.

Geplaatst op 17 januari 2024 door admin

Antwoord

Wat de volgorde van de zijden is, steeds moet minstens aan één zijde met lengte 7 een zijde met lengte 20 aanliggend zijn. Noem de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 20 eenheden 2a en de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 7 eenheden 2b.
Door het apothema te trekken op de zijden van de zeshoek vinden we dat $\sin a=\frac{10}{r}$ en $\sin b=\frac{3,5}{3}$ .
De som van alle middelpuntshoeken is $360^\circ$ , dus $2*2b+4*2a=360^\circ$ . Hieruit volgt dat $b+2a=90^\circ$ .
Dan geldt er dat $\sin b=\cos 2a=1-2\sin^2 a$
Volgens een vorig punt is dus $1-2\sin^2 a=\frac{3,5}{r}$ . Of
$1-2\Big(\frac{10}{r}\Big)^2=\frac{3,5}{r}$
Dit geeft een vierkantsvergelijking: $2r^2-7r-400=0$
De enige positieve oplossing van deze vergelijking is 16.
De straal is 16 eenheden lang.

Geplaatst op 9 januari 2024 door admin

Antwoord

Veronderstel dat er toch een natuurlijk getal k bestaat zodat
$3^3+3^n+2=k^2$
Dan is $3^m+3^n=(k+1)(k-1)$ . Omdat het linkerlid even is en omdat $k-1$ en $k+1$ dezelfde pariteit hebben, zijn $k-1$ en $k+1$ opeenvolgende even getallen.
Dit betekent ook dat ofwel $k-1$ ofwel $k+1$ een viervoud is. Het rechterlid $(k-1)(k+1)$ is dus deelbaar door 8.
Bij deling door 8 zijn de resten van machten van 3 ofwel 1 ofwel 3. De som $3^m+3^n$ is dus modulo 8, gelijk aan 2,4 of 6 en dus zeker niet deelbaar door 8.
Bijgevolg kan $3^m+3^n+1$ nooit een volkomen kwadraat zijn.