Een alien | Wiskunde is leuk

Op het bord staat de vergelijking

$x^3-19x^2+103x-247=0$

Een alien komt binnen en roept: een drievoudige wortel! Net als wij heeft het buitenaards wezen 2 handen die onderling symmetrisch zijn. maar hoeveel vingers heeft hij (zij of het) aan elke hand?

antwoord

Als er een drievoudige wortel is dan is de vergelijking te schrijven onder de vorm $(x-k)^3=0$ of
$x^3-3kx^2+3k^2x-k^3=0$
Nu is 247 geen derdemacht in ons tientallig stelsel, dus het gaat zeker al over een ander talstelsel. Noteer met b de basis van dat talstelsel.
De basis b moet even zijn, want onze alien heeft twee handen die symmetrisch zijn.
Verder moet b zeker groter zijn dan 10 want hij ziet het cijfer 9 staan.
Dus moet $3k=(19)_b$ of $3k=b+9$ . Hieruit volgt dat $f=\frac{b+9}{3}$ .
Ook moet $3k^2=(103)_b$ of $3k^2=b^2+3$ . Als we hierin k vervangen door $\frac{b+9}{3}$ vinden we $2b^2-18b-72=0$ . Bijgevolg is k=12 of k=-3. Dit laatste kan uiteraard niet.
Controleer nog of $k ^3=(247)_b$ met b=12. Dit klopt.
Het buitenaards wezen heeft 6 vingers aan elke hand.