Een alien

 

Op het bord staat de vergelijking

    \[x^3-19x^2+103x-247=0\]

Een alien komt binnen en roept: een drievoudige wortel! Net als wij heeft het buitenaards wezen 2 handen die onderling symmetrisch zijn. maar hoeveel vingers heeft hij (zij of het) aan elke hand?

antwoord

  • Als er een drievoudige wortel is dan is de vergelijking te schrijven onder de vorm (x-k)^3=0 of

        \[x^3-3kx^2+3k^2x-k^3=0\]

  • Nu is 247 geen derdemacht in ons tientallig stelsel, dus het gaat zeker al over een ander talstelsel. Noteer met b de basis van dat talstelsel.
  • De basis b moet even zijn, want onze alien heeft twee handen die symmetrisch zijn.
  • Verder moet b zeker groter zijn dan 10 want hij ziet het cijfer 9 staan.
  • Dus moet 3k=(19)_b of 3k=b+9. Hieruit volgt dat f=\frac{b+9}{3}.
  • Ook moet 3k^2=(103)_b of 3k^2=b^2+3. Als we hierin k vervangen door \frac{b+9}{3} vinden we 2b^2-18b-72=0. Bijgevolg is k=12 of k=-3. Dit laatste kan uiteraard niet.
  • Controleer nog of k ^3=(247)_b met b=12. Dit klopt.
  • Het buitenaards wezen heeft 6 vingers aan elke hand.