Het monster

In 1981 construeerde de Amerikaanse wiskundige Robert Griess( 1945-) het Monster: de grootste en een van de meest mysterieuze van de zogenaamde sporadische groepen.

Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als product van priemfactoren. Bij groepen heeft men hetzelfde proberen te doen: ‘enkelvoudige’ groepen vinden zodat dat elke groep te schrijven is als product van enkelvoudige groepen. Er bestaan 18 families van dergelijke enkelvoudige groepen elk met aftelbaar  oneindig veel elementen. De verzameling van de cyclische groepen met priem orde is één van die families. Buiten die 18 families zijn er nog enkele enkelvoudige groepen die niet thuis horen in die families. Deze opzichzelfstaande groepen worden sporadische groepen genoemd. Daarvan zijn er 26.

De monster groep is de grootste en telt

    \[2^{46}.3^{20}.5^9.7^6.11^2.13^2.17.19.23.29.31.41.47.59.71\]

elementen. Je deze groep  voorstellen als een sneeuwvlok met meer dan 10^{53} symmetrieën.

De structuur van de monster groep suggereert nauwe verbanden tussen symmetrie en natuurkunde en kan zelfs verband houden met de snaartheorie.

In 1973 kondigden Griess en Bernd Fischer (1956-) het bestaan van het monster aan. Het kreeg zijn naam van John Conway en het was de Britse wiskundige Richard Borcherds (1959-), die voor zijn werk aan het begrijpen van het Monster, uiteindelijk een Fields-medaille kreeg.

Principe van Cavalieri

Bonavatura Cavalieri ( 1598 – 1647) was een Italiaanse wiskundige. Hij is bij ons vooral gekend om het volgende principe: 

Twee objecten met dezelfde hoogte en met, op elke niveau , een dwarsdoorsnede met dezelfde oppervlakte, hebben een gelijk volume.

Zo kan men bijvoorbeeld  de inhoud van een bol bepalen:

Links zie je een halve bol met straal r en rechts een cilinder met straal r en hoogte r, waaruit een kegel gehaald is. De dwarsdoorsnede op een hoogte x boven het vlak P voor de linkse figuur  is een schijf met straal \sqrt{r^2-x^2}. De oppervlakte is dus \pi(r^2-x^2). De dwarsdoorsnede van de rechtse figuur is een ring begrensd door  twee cirkels met stralen r en x. De oppervlakte is \pi r^2-\pi x^2. Volgens het principe van Cavalieri hebben beide figuren dus hetzelfde volume. De inhoud van een halve bol is dus \pi r^2.r -\frac{1}{3} \pi r^2.r=\frac{2}{3}\pi r^3 en dus is de inhoud van een  bol gelijk aan \frac{4}{3}\pi r^3.

Het principe kan ook toegepast worden op de oppervlakte van vlakke figuren te berekenen. Zo is  de oppervlakte van een rechthoek met breedte b en hoogte h gelijk is aan die van een parallellogram met basis b en hoogte h, want elke dwarsdoorsnede heeft dezelfde lengte bij rechthoek en parallellogram.

Topologie

Topologie is een veralgemening van de meetkunde. Het woord is afgeleid   van het Grieks topos(plaats) en logos (studie). Het is een onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met eigenschappen in de n-dimensionele ruimte , die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De term ‘topologie’ werd geïntroduceerd in 1847 door de Duitse wiskundige John Benedict Listing ( 1808-1892) in zijn werk Vorstudien zur Topologie . Listing was een leerling van Carl Friedrich Gauss.

In de beginperiode noemde men ‘ deze wiskunde’ : analysis situs, analyse van de positie. Rubbermeetkunde is een betere omschrijving van wat topologie eigenlijk betekent .

In topologie beschouwt men twee objecten als hetzelfde (homeomorf) als de ene continu vervormd kan worden tot de andere: uitrekken zonder  echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken.

In de praktijk zijn continue vervormingen echter moeilijk te beschrijven. Er bestaat een andere methode om te zien wanneer twee objecten niet-homeomorf zijn. Hierbij maakt men gebruik van de Euler karakteristiek of de Poincaré-Euler karakteristiek: een geheel getal dat de  essentie van de vorm van een topologische ruimte weergeeft. 

De Eulerkarakteristiek wordt genoteerd door \chi. Noteer met h het aantal hoekpunten, met r het aantal ribben en met v het aantal zijvlakken van een figuur.

  • Voor figuren zoals de cirkel is \chi= h-r.
  • Voor figuren zoals een bol is \chi=h-r+v.

Voor een kubus ( en elk ander Platonisch veelvlak ) is \chi=2, want een kubus heeft 8 hoekpunten, 12 ribben en 6 zijvlakken: 8-12+6=2.

Voor de drievoudige torus kan men aantonen dat \chi=-4.

 

Het berekenen van de Euler karakteristiek gebeurt via triangulatie, waarop we hier niet verder ingaan. Belangrijk is om te weten dat, als figuren homeomorf zijn, hun Euler karakteristieken dezelfde zijn of door contra positie: als de Euler getallen verschillend zijn , dan zijn de figuren niet homeomorf.

 

necker kubus

De Necker kubus is vernoemd naar de Zwitserse kristallograaf Louis Necker (1786-1861)
Het is een lijntekening van een kubus in perspectief. Het is niet mogelijk te zeggen welke zijde van de kubus zich aan de voorkant bevindt. Twee mogelijkheden: 

 

Pi met wortels

Hoe kan je pi benaderen door middel van wortels? Bekijk volgende  mogelijkheid: de oppervlakte van een cirkel met straal 1 benaderen we door het gemiddelde te nemen van de oppervlaktes van een ingeschreven regelmatige achthoek en een omgeschreven regelmatige zeshoek.

  • Neem een omgeschreven zeshoek :
    om de oppervlakte te berekenen nemen we zes keer de oppervlakte van OAB. De hoogte OM van die driehoek is 1. De basis AB is 2*\tan 30^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}. Bijgevolg is de oppervlakte van de zeshoek gelijk aan 2\sqrt{3}.
  • Neem vervolgens een ingeschreven regelmatige achthoek:
    de oppervlakte is gelijk aan acht keer de oppervlakte van driehoek OAB. De oppervlakte van die driehoek is gelijk aan \frac{1}{2}*1*1*\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}, zodat de oppervlakte van de achthoek gelijk is aan 2\sqrt{2}.
  • Het gemiddelde van die twee oppervlaktes is dan \sqrt{2}+\sqrt{3}.
  • Aldus is \pi \approx \sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3.14626436994