Categorie archieven: Groepen

Toevoeging en klassen vergelijking

Geplaatst op door

Elke groep G werkt, door toevoeging, op zichzelf:

De baan van een element x van G, ook orbit genoemd, noteren we als Orb(x) en is de verzameling elementen van G die toegevoegd zijn aan x: met andere woorden de toevoegingsklasse van x.

De centralisator  C_g van een element g is de verzameling elementen van G die commuteren met g. Het is altijd een deelgroep van G en er is een bijectief  verband tussen de elementen van  Orb(x) en G/G_x. Met andere woorden de orde van een toevoegingsklasse is de index van de centralisator van een willekeurig element x van die klasse in G. Dus deelt de orde van een toevoegingsklasse steeds de orde van de groep.

De klassen vergelijking schrijft de orde van G als som van de ordes van de toevoegingsklassen.

Basisfeiten over groepen

Geplaatst op door

Voor de classificatie van eindige groepen kunnen we beroep doen op de stellingen van Sylow ofwel kunnen we gebruik maken van een aantal elementaire eigenschappen:

  • Groepen van priem orde  zijn cyclisch en uniek op een isomorfisme na.
  • Toegevoegde elementen hebben dezelfde orde.
  • Als de quotiënt groep van G met zijn centrum Z(G) cyclisch is, dan is G abels.
  • Als in een groep G, alle elementen, behalve het eenheid element, orde 2 hebben, dan is G abels.
  • Als p priem is, dan is het aantal elementen van orde p altijd een veelvoud van p – 1.
  • Als een groep G gegenereerd wordt door 2 normale deelgroepen H en K ( dus elk element van G is te schrijven onder de vorm h_1k_1h_2k_2...h_rk_r, en als H\capK=\{e\} dan is G het direct product van H met K. Dus  G\cong H \times K.
  • Abelse groepen zijn ofwel cyclisch ofwel het direct product van cyclische groepen.

Matrixgroepen

Geplaatst op door

Noem GL_n(F) de verzameling van alle n x n matrices over het veld F met een determinant die niet nul is. Het is duidelijk dat deze verzameling, uitgerust met de gewone matrixvermenigvuldiging, een groep is, want:

  • Omdat det( A.B)=det(A).det(B) zal GL_n(F) gesloten zijn onder de vermenigvuldiging.
  • Omdat de determinant verschillend is van nul, heeft elke matrix een inverse.
  • De determinant van de eenheidsmatrix ( neutraal element) is verschillend van nul.

Een paar opmerkingen:

  • GL_n(F) is niet-abels voor elke n\geq 2 en voor elk veld F.
  • GL_n(F) is een eindige groep als en slechts als F een eindig veld is. Eindige velden zijn er voor elke waarde van p priem en voor alle priemmachten p^m.
  • Als F een eindig aantal elementen q bezit, dan is het aantal elementen van GL_n(F) gegeven door de formule

        \[(q^n-1)(q^n-q)\cdots(q^n-q^{n-1})\]

  • Neem bijvoorbeeld F=\mathbb{Z}_2, dan is de orden van GL_2(\mathbb{Z}_2) gelijk aan 6. De enige niet-abelse groep van orde 6 is S_3, dus is

        \[GL_2(\mathbb{Z}_2) \cong S_3\]

Een ander ‘leuk’ voorbeeld is de Heisenberg groep H(F), vernoemd naar de Duitse natuurkundige Werner Heisenberg( 1901-1976).

H(F) bevat alle 3 x 3 bovendriehoeksmatrices van de vorm

    \[\begin{pmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Het is duidelijk dat deze matrices allen een determinant gelijk aan 1 hebben, dus is H(F) een deelgroep van GL_3(F). Neem voor F een eindig veld met q elementen , dan zien we dat de orde van H(F) gelijk is aan q^3. 

Bekijken we even de situatie als F=\mathbb{Z}_2, dan telt H(F) dus 8 elementen. Er zijn 5 elementen van orde 2, zoals bijvoorbeeld \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} en 2 elementen van orde 4, zoals bijvoorbeeld \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}. Bijgevolg is

    \[H(\mathbb{Z}_2)\cong D_4\]

Graaf van een groep

Geplaatst op door

Er bestaat een manier om de structuur van een groep visueel voor te stellen. Het was de Engelse wiskundige Arthur Cayley die in 1878 als eerste gebruik maakte van de theorie van de grafen om dit te doen. We spreken dan ook van een Cayley – graaf van een groep.

Gegeven zijn een groep G en een verzameling van generatoren van de groep. De Cayley – graaf van G is dan een gekleurde en gerichte graaf die opgebouwd is volgens de volgende regels:

  • Met elk element van de groep correspondeert 1 knoop van de graaf.
  • Voor elke generator gebruiken we een aparte kleur.
  • Als a een generator is, dan gaat er, in de kleur die bij a hoort, een gerichte zijde van elk element g van de groep naar het element g.a.

Voor de cyclische groep van orde 6 ( \mathbb{Z}_5,+ ) is de graaf zeer eenvoudig: De generator is 1.

Voor de dihaedergroep D_4 is het al wat moeilijker: de generatoren zijn a en b. De rode pijl geeft de  rechtervermenigvuldiging met a en de blauwe de rechtervermenigvuldiging met b. Bij de blauwe pijl ontbreekt de pijlrichting omdat de pijl heen en terug gaat.