Verdubbelingsformule

De lengte x  van een koorde, die een boog onderspant, gelijk aan de helft van de boog, die bij een gegeven koorde a hoort, is

    \[x=\sqrt{2r^2-r\sqrt{4r^2-a^2}}\]

Hierbij is r de straal van de cirkel.

Als a de zijden van een regelmatige n-hoek is, dan is x de zijden van een regelmatige 2n-hoek. Zo kunnen we bijvoorbeeld de zijde van een regelmatige twaalfhoek berekenen. De zijde van een regelmatige zeshoek is gelijk aan de straal r van de omgeschreven cirkel, en dus is

    \[z_{12}=\sqrt{2-\sqrt{3}}r\]

We kunnen uit de formule ook a berekenen in functie van x en dan vinden we

    \[a=\frac{x\sqrt{4r^2-x^2}}{r}\]

Uit de zijde van een regelmatige zeshoek kunnen we zo de zijden van een gelijkzijdige driehoek berekenen:

    \[z_6=\sqrt{3}r\]

Koordenvierhoek

 

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel gelegen zijn. Deze cirkel noemen we dan de omgeschreven cirkel.

Een paar eigenschappen:

  • Bij een koordenvierhoek zijn de overstaande hoeken supplementair en omgekeerd, als bij een vierhoek elke twee overstaande hoeken supplementair zijn, dan is die vierhoek een koordenvierhoek. Bijgevolg zijn een vierkant , een rechthoek , een gelijkbenig trapezium  allemaal koordenvierhoeken.
  • Van een koordenvierhoek is het product van de diagonalen gelijk aan de som van de producten van de overstaande zijden  en omgekeerd (stelling van Ptolemeus): 
           

        \[AC.BD=AB.CD+AD.BC\]

  • De verhouding van de diagonalen van een koordenvierhoek is gelijk aan de verhouding van de sommen van de producten van de zijden, die in hun uiteinden samenkomen:

        \[\frac{AC}{BD}=\frac{AB.AD+CD.BC}{AB. BC+AD.CD}\]

De Kepler-Bouwman constante

Teken een cirkel met straal 1. Teken een regelmatige ( dus gelijkzijdige) driehoek, omgeschreven aan deze cirkel. Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van die driehoek en het vierkant omgeschreven aan die cirkel. Daarna teken je weer de omgeschreven cirkel van dat vierkant en een regelmatige vijfhoek omgeschreven aan die cirkel. Ga daar oneindig mee door.

We zouden kunnen verwachten dat je zo steeds grotere cirkel gaat bekomen. En hoewel de cirkels aanvankelijk groter worden, neemt de mate van groter worden steeds af en zullen de stralen van de omgeschreven cirkels naderen tot een bepaalde limietwaarde. 

Die waarde lijkt niet zo moeilijk om uit te rekenen.

De verhouding van de stralen van de gele en groene cirkel is \cos \frac{\pi}{3}. Hieruit volgt dat de gezochte limietwaarde het omkeerde  is van

    \[\prod_{k=3}^{\infty}\cos \frac{\pi}{k}\]

De eerste die dit deden waren Edward Kasner (1878-1955)  en James Newman (1907-1966). Zij bekwamen een waarde van ongeveer 12. In 1965 gaf een Nederlandse wiskundige Christoffel Bouwkamp (1915-2003) als waarde 8,7000 aan.`