Sylvester-Gallai stelling

Geplaatst op 4 januari 2026 door admin

Stel je een eindige verzameling van $n$ punten in het vlak voor, waarbij niet alle punten op éénzelfde rechte liggen. Een verrassend eenvoudige maar diepe bewering luidt dan:

Er bestaat minstens één rechte die door precies twee van deze punten gaat.

Zo’n rechte noemt men vaak een gewone of ordinair rechte. Op het eerste gezicht lijkt dit evident, maar bij nader inzien blijkt het een niet-triviale uitspraak te zijn die aan de basis ligt van een hele tak van de combinatorische meetkunde.

De oorsprong van dit probleem ligt bij J.J.Sylvester (1814-1897), een Britse wiskundige die deze uitspraak publiceerde in 1893, maar geen bewijs gaf. 40 jaar lang werd geen oplossing gevonden. Rond 1930 rakelt Erdös het probleem terug op. De eerste oplossing komt van de Hongaar Grünewald (1933 die onder de naam galli een bewijs in het gecomplementeerd affien vlak geeft. later komen er elegantere oplossingen binnen.

Stap 1 – Kies een minimale afstand

Beschouw alle paren van verschillende punten uit $S, de gegeven verzameling van n punten$ . Omdat $S$ eindig is, bestaat er een paar waarvoor de afstand d(A,B) minimaal is onder alle afstanden tussen twee verschillende punten van $S$ . Laat de rechte zijn door en $B$ .

Stap 2 – Veronderstel dat er een derde punt op ligt

Stel, om een tegenspraak te bekomen, dat er een derde punt op de rechte $r$ ligt. Dan liggen op één lijn. Zonder verlies van algemeenheid ligt $B$ tussen $A$ en $C en dichter bij A.$ Dan geldt: Maar dan is de afstand niet de enige minimale afstand op die rechte: het punt $B$ ligt “tussenin”, wat toelaat een kortere afstand te construeren tussen twee van de drie punten — in tegenspraak met de minimaliteit vand(A,B).

Stap 3 – Conclusie

De veronderstelling dat er een derde punt op ligt is onmogelijk. Dus: Daarmee is de stelling bewezen. ∎

Steinberg suggereert in 1944 dat we misschien de uitspraak van Sylvester nog scherper kunnen stellen. Kunnen we voor bepaalde waarden van n steeds meer dan 1 ordinaire rechte vinden? Sterker nog: kunnen we het aantal ordinaire rechten(m) uitdrukken in functie van het aantal punten(n)? Er zijn al veel publicaties over dit onderwerp verschenen. Kelly en Mose publiceerden als eerste een ondergrens :

$m\geq \frac{3}{7}n$

Hansen onderzocht de waarde van m voor enkele kleine waarden van n en vond (geschreven als koppels (n,m)) : (3,3), (4,3), (5,4) ,(6,3), (7,3), (8,4), (9,6), (10,5)

Hoogtelijnen in een driehoek

Geplaatst op 29 december 2025 door admin

Beschouw een willekeurige driehoek $ABC$ met zijden

$a = |BC|,\qquad b = |CA|,\qquad c = |AB|$ .
Noem $h_a,h_b,h_c$ de lengtes van de hoogtelijnen op respectievelijk $BC,CA,AB$ .
Verder zij $r \quad \text{de straal van de ingeschreven cirkel,}$ en $s = \frac{a+b+c}{2}$
de halve omtrek van de driehoek.

De oppervlakte $\Delta$ van de driehoek kan op twee fundamentele manieren worden uitgedrukt.

Enerzijds geldt, via de hoogtelijnen:

$\Delta = \frac{1}{2} a h_a= \frac{1}{2} b h_b= \frac{1}{2} c h_c.$

Anderzijds is er de klassieke formule met de ingeschreven cirkel:
$\Delta = r s.$

Door beide uitdrukkingen voor de oppervlakte te vergelijken, krijgen we:

$\frac{1}{2} a h_a = r s,$ waaruit volgt: $h_a = \frac{2rs}{a}.$
Analoog vinden we:

$h_b = \frac{2rs}{b}, \qquad h_c = \frac{2rs}{c}.$

Neem nu van deze uitdrukkingen de omgekeerden:
$\frac{1}{h_a} = \frac{a}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_b} = \frac{b}{2rs}, \qquad\frac{1}{h_c} = \frac{c}{2rs}.$

Door deze drie gelijkheden op te tellen, bekomen we:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{a+b+c}{2rs}.$
Omdat $a+b+c = 2s$ , vereenvoudigt dit tot:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}= \frac{2s}{2rs}= \frac{1}{r}.$

We besluiten dat voor elke driehoek het volgende elegante verband geldt:

$\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}}$

De schoenvetermethode

Geplaatst op 3 september 2025 door admin

De schoenveterformule is een rekenmethode om de oppervlakte van een veelhoek te bepalen wanneer de coördinaten van de hoekpunten bekend zijn. De methode wordt zo genoemd omdat de berekening lijkt op het kruislings strikken van veters: de coördinaten van de punten worden in een tabel onder elkaar gezet, en er worden kruisvermenigvuldigingen gemaakt die visueel doen denken aan een veterpatroon.

Stel dat we een veelhoek hebben met hoekpunten $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$ die in volgorde (met de klok mee of tegen de klok in) gegeven zijn.

De oppervlakte $A$ wordt berekend met:

$A=\frac{1}{2}\Big|\sum_{i=1}^n(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)\Big|$

waarbij $(x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)$ , (met andere woorden: het eerste punt wordt na het laatste punt herhaald om de lus te sluiten).

Stappen van de methode

Schrijf de coördinaten van de punten onder elkaar, en herhaal de eerste rij onderaan.
Vermenigvuldig kruiselings:
- van linksboven naar rechtsonder, en tel deze producten op;
- van rechtsboven naar linksonder, en tel deze producten op.
Trek de tweede som af van de eerste som.
Neem de absolute waarde en deel door 2.

Stel, we hebben een driehoek met punten: De tabel wordt:

De oppervlakte van de driehoek is dus A= $\frac{1}{2}|(3.11+5.8+12.4)-(4.5+11.12+8.3)|=27,5$ .

De formule is gebaseerd op de wiskundige theorie van determinanten (ontwikkeld door Leibniz en Cramer in de 17e-18e eeuw).

de stelling van Van Aubel

Geplaatst op 7 augustus 2025 door admin

De stelling van Van Aubel is een wiskundige stelling die te maken heeft met vierkanten op de zijden van een willekeurige vierhoek. Het zegt dat als je vierkanten bouwt op de zijden van een vierhoek, de som van de oppervlaktes van twee tegenoverliggende vierkanten gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de andere twee tegenoverliggende vierkanten. Of in een meer klassieke vorm: De lijnstukken die de middens van tegenoverliggende vierkanten (in het rood getekend) verbinden, staan loodrecht op elkaar en zijn even lang.

Het is een veralgemening van een ander beroemd meetkundig resultaat — namelijk het stelling van Napoleon, maar dan toegepast op vierhoeken in plaats van op driehoeken : als je gelijkzijdige driehoeken construeert op de zijden van een willekeurige driehoek (allemaal naar buiten toe), dan liggen de middens van deze driehoeken op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek.

Marion’s theorema

Geplaatst op 4 augustus 2025 door admin

Neem een willekeurige driehoek. Verdeel elke zijde in drie gelijke stukken (triseer de zijden), en trek van elk hoekpunt lijnen naar de. Wat blijkt? In het midden van de driehoek ontstaat dan een zeshoek (hexagoon), en die heeft precies 1/10e van de oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek.

We danken dit resultaat aan Marion Walter (1928–2021), een Duits-Amerikaanse wiskunde‑pedagoge. Ze stond bekend om haar werk rond ontdekkend leren in de wiskunde, met een focus op geometrie en visualisatie. Ze gebruikte programma’s zoals Geometer’s Sketchpad om leerlingen zelf meetkundige stellingen te laten ontdekken. Haar theorema werd in 1993 populair door visuele en digitale exploratie.

Er is een uitbreiding van Marion’s theorema voor het geval je elke zijde verdeelt in n gelijke delen (waarbij n oneven is, dus 3, 5, 7, enz.). De formule voor de oppervlakte van de centrale zeshoek is dan:

Voor n = 4 is de oppervlakte 8/35 ste van de oppervlakte van de gegeven driehoek, wat via analytische meetkunde vrij gemakkelijk na te gaan is.

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Meetkunde