Sangaku 13

Antwoord

  • We zoeken de vergelijking van de groene cirkel , met middelpunt de oorsprong en straal r: x^2+y^2=r^2.
  • f(x)=\sqrt{r^2-x^2}  is de vergelijking van de bovenste halve cirkel
  • De cirkel raakt aan de rode kromme g(x) in P(x,y) als en slechts als f(x)=g(x) en f'(x)=g'(x).
  • De eerste betrekking betekent dat x+\sqrt{1}{x}=\sqrt{r^2+x^2}
  • De tweede betrekking geeft: 1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}
  • Hieruit volgt dat 1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x^2}{x^2+1}.
  • Uitrekenen geeft x=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}. En bijgevolg is y=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\sqrt[4]{2}.
  • Nu is r^2=x^2+y^2, dus is r^2=2+2\sqrt{2}.
  • De vergelijking van de groene cirkel is:

        \[x^2+y^2=2+2\sqrt{2}\]

 

Sangaku 12

 

Antwoord

  • We veronderstellen dat hier een regelmatige zevenhoek getekend staat. Dus er gaat een cirkel door de zeven punten 
  • We zoeken naar een verband tussen a, b en c
  • Beschouw de koordenvierhoek ACDE
  • Daarin zijn |AD|=|AE|=c, |AC|=|CE|=b en |CD|=|CE|=a.
  • Gebruiken we de stelling van Ptolemaeus in deze vierhoek: het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden:

        \[bc=ab+ac\]

  • Delen door abc geeft uiteindelijk :

        \[\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\]

Sangaku 10

antwoord

  • Gevraagd wordt de totale oppervlakte vanher trapezium te berekenen.
  • De driehoeken met gegeven oppervlakten 32 en 50 zijn gelijkvormig. Hun oppervlakten verhouden zich als het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor. Bijgevolg is de gelijkvorrmgheidsfactor

        \[r=\frac{4}{5}\]

  • Noteer dan |AE|=4s en |EC|=5s. Analoog |DE|=4t en |EB|=5t
  • De 4 hoeken in E hebben allemaal eenzelfde sinus als overstaande hoeken of supplementaire hoeken. Noteer deze sinus door x. 
  • Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruiken we de formule: de helft van het product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek.
  • Oppervlakte ADE= \frac{1}{2}(4s*4t*x)=32.  Dus is stx=4.
  • De oppervlakte van AEB=\frac{1}{2}(4s*5t*x)=10*stx=40 Analoog is ook de oppervlakte van driehoek DEC gelijk aan 40.
  • De totale oppervlakte is dan 32 + 50 + 40 + 40 = 162.

 

 

Sangaku 9

Spoiler

We zoeken de verhouding tussen de rode en blauwe oppervlakte.

  • Noem de straal van de rode cirkels r en die van de blauwe cirkel r’.
  • De schuine zijde van de getekende rechthoekige driehoek kan je berekenen via de stelling van Pythagoras: \sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r.
  • Maar dan is 2r+2r'=2\sqrt{2}r. Of r'=r(\sqrt{2}-1).
  • De gezochte verhouding is dan \frac{3\pi r^2}{\pi r^2(\sqrt{2}-1)^2}=9+6\sqrt{2}.