Categorie archieven: Geschiedenis

Bolstapeling

Geplaatst op door

In de wereld van de moderne wiskunde zijn er enkele namen die opvallen door hun baanbrekende ontdekkingen en bijdragen aan complexe problemen. Maryna Viazovska is zo’n persoon. Geboren in Oekraïne op 2 december 1984, heeft ze niet alleen de wereld van de getaltheorie en wiskundige optimalisatie verrijkt, maar heeft ze ook bewezen dat zelfs de meest uitdagende problemen kunnen worden opgelost door vastberadenheid en briljant denken. Ze is hoogleraar getaltheorie in Lausanne en staat vooral bekend voor haar werk aan de dichtste stapeling van bollen.

Dit is een zodanige configuratie, regelmatig of onregelmatig, van een willekeurig groot aantal identieke bollen, dat geen andere configuratie voor hetzelfde aantal bollen minder ruimte inneemt. De gemiddelde dichtheid, de verhouding van het volume van de bollen tot het volume van het de ruimte noemt men de pakkingsfactor. De hoogste pakkingsfactor die kan bereikt worden is ongeveer 0,74( bewezen door Thomas Hales). Er zijn meerdere manieren van bolstapeling, die de maximale pakkingsfactor van ongeveer 0,74 halen. De simpele, veelvoorkomende zijn de hexagonale en de kubische:

In 2016 loste Viazovska het probleem van de dichtste bolstapeling  in een acht-dimensionale ruimte op. Zij toonde aan dat de dichtste stapeling wordt verkregen als de bollen geordend worden volgens een Lie–groep. Voor haar werk kreeg ze de Fields Medal een van ’s werelds hoogste onderscheidingen in de wiskunde. Tot dan was het probleem slechts opgelost in 3 dimensie en dat bewijs kostte 300 pagina’s. Marina bewees dat van haar op 23 pagina’s en deed dat op een opvallend elegante manier. Ze was pas de tweede vrouw die de Fields Medal mocht ontvangen; De eerste was de Iraanse wiskundige Mirzakhani (1977-2017).

 
 

Het vierkleurenprobleem

Geplaatst op door

Het vierkleurenprobleem is een van de bekendste vraagstukken in de wiskunde en de geschiedenis ervan is best fascinerend. Het probleem draait om de vraag of elke landkaart met aangrenzende gebieden kan worden ingekleurd met slechts vier verschillende kleuren, zodat geen twee aangrenzende gebieden dezelfde kleur hebben.

Het probleem stamt eigenlijk al uit de 19e eeuw, toen Francis Guthrie, een Britse wiskundige, het voor het eerst formuleerde in 1852. Hij stelde de vraag terwijl hij naar een landkaart van de graafschappen van Engeland keek. Het intrigeerde wiskundigen decennialang, en er werden verschillende pogingen gedaan om het te bewijzen of te weerleggen.

In de loop der jaren hebben vele wiskundigen zich ermee beziggehouden, maar het probleem bleef hardnekkig weerstand bieden. Pas in 1976 werd een doorbraak bereikt toen Kenneth Appel en Wolfgang Haken een computerprogramma ontwikkelden om te bewijzen dat vier kleuren voldoende zijn voor elke willekeurige landkaart. Hun bewijs was echter controversieel omdat het gebruikmaakte van computertechnologieën die destijds nieuw waren voor wiskundige bewijzen.

Ondanks de controverse wordt het vierkleurenprobleem nu algemeen aanvaard als opgelost, hoewel sommige wiskundigen de voorkeur geven aan handmatige bewijzen boven computerondersteunde methoden. Het blijft echter een belangrijk onderwerp binnen de wiskundige gemeenschap en heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van nieuwe methoden en ideeën binnen de grafentheorie en de combinatorische wiskunde.

Het chromatisch getal van een graaf is het minimum aantal kleuren dat nodig is om de knopen van die graaf te kleuren, zodanig dat geen twee verbonden knopen dezelfde kleur hebben. Voor een vlakke landkaartgrafiek (geen twee landen delen een grenssegment) is het chromatisch getal gelijk aan 4 vanwege het vierkleurenprobleem.

Dus, het vierkleurenprobleem is een specifiek geval van het bepalen van het chromatisch getal van een bepaalde graaf, namelijk landkaartgrafen op een vlakke oppervlakte.

Betegelingen van het vlak

Geplaatst op door

De kunst van het betegelen is waarschijnlijk al zo oud als de beschaving zelf. Moorse gebouwen, zoals het Alhambra zijn overvloedig versierd met kleurrijke tegels in alle mogelijke vormen.

De wetenschappelijke benadering van betegelingen is echter nauwelijks 100 jaar oud. Op 1 uitzondering na, want reeds in 1619 schreef Johann Kepler (1571-1630) over dit onderwerp.

In zijn werk: Harmonice Mundi, komen betegelingen uitgebreid aan bod, zoals blijkt uit volgende afbeeldingen uit zijn boek.

Het werk maakt op veel plaatsen de indruk een religieus traktaat te zijn. Kepler uitgangspositie is religieus, metafysisch, maar zijn grote kracht is dat hij minutieus al zijn bespiegelingen controleert en zich door de feiten laat overtuigen. Volgens het idee van Kepler is de kosmos door God harmonisch geschapen en heeft de mens voor deze harmonie een ingeschapen gevoel. De harmonie zit in de getalsmatige verhoudingen. Het is een harmonie van getallen. 

Lhuilier

Geplaatst op door

De studie van veelvlakken kan teruggevoerd worden naar de piramiden van het Oude Egypte. Maar het waren voornamelijk de Grieken die geïnteresseerd waren in de wiskundige eigenschappen van regelmatige veelvlakken. Zij ontdekten  de 5 platonische lichamen, waarvan een volledige beschrijving werd gegeven door Theiatetos ( 400 BC).

In 1750 formuleerde Euler(1707-1783) een formule die een verband legt tussen het aantal zijvlakken, het aantal hoekpunten  en het aantal ribben van een veelvlak: Z – R + H = 2. We zeggen dat deze veelvlakken Eulerkarakteristiek 2 hebben.

Maar Euler zag één punt over het hoofd, namelijk de kwestie van convexiteit. De veelvlakken die Euler en de Grieken bestudeerden, waren allemaal convex zonder dat dit expliciet werd verondersteld. In 1619 beschreef Kepler een regelmatig niet-convex veelvlak, namelijk de stella octangula. 

De kwestie van de convexiteit heeft dan ook geleid tot uitzonderingen op de formule van Euler. In 1811 vond Lhuilier( 1750-1840), een Zwitserse wiskundige, 3 soorten veelvlakken waarvoor de formule niet meer klopte. Deze soorten veelvlakken waren echter convex. 

Het was uiteindelijk Poincaré die de formule van Euler veralgemeende tot : Z – R + H = 2 – 2g, waar bij g het aantal gaten in het veelvlak is.

Nicolai Lobatschevsky

Geplaatst op door

Wanneer Euclides 23 eeuwen geleden zijn meetkunde in systematische gedaante bracht, had hij zich nooit kunnen inbeelden hoeveel invloed deze later zou hebben. De Euclidische meetkunde is uitermate geschikt om de wereld rondom ons te beschrijven. In de wetenschap voor 1800 heeft men altijd gedacht dat de Euclidische meetkunde het enige meetkundig systeem was.

Onder de axioma’s die Euclides aan de basis van zijn systeem legde, was er één, met name het parallellenpostulaat, dat al vlug in vraag werd gesteld. Men achtte dit axioma van een andere aard als de overige vier en men twijfelde zelfs aan de noodzakelijkheid ervan, omdat het afhankelijk van of een gevolg van de andere axioma’s zou zijn. Gedurende meer dan 2000 jaar hebben beroemde wiskundigen getracht het parallellenpostulaat te bewijzen.

Vanaf de tweede helft van de achttiende eeuw begon men te denken dat men het parallellenpostulaat of elk equivalent postulaat, moest toelaten zonder bewijs. Uiteindelijk leidde dit tot de ontdekking van nieuwe meetkundige systemen. De eersten die hiertoe in staat zijn geweest waren Gauss, Bolyai en Nicolai Ivanovitch Lobatschevsky ( 1792-1856).

Op 23 februari 1826 geeft Lobatschevsky, voor de faculteit wiskunde en natuurkunde van de universiteit van Kazan, een lezing onder de naam Imaginaire meetkunde . Hier zet hij zijn nieuwe ideeën duidelijk naar voor. De essentie van het ongepubliceerde artikel wordt later toegevoegd aan zijn werk De elementen van de meetkunde . Lobatschevsky ondervindt zware tegenwerking en kritiek. Hij herziet zijn werk in een nieuw boek De nieuwe  elementen van de meetkunde. In 1840 verschijnt nog een werk van hem over zijn bedenkingen, namelijk 

In deze boeken vindt men een nieuwe meetkunde: de hyperbolische meetkunde. Als men het parallellepostulaat ( door elk punt P gaat er juist 1 rechte die een gegeven rechte a niet snijdt)  niet opneemt, dan onderscheidt men twee typen niet-euclidische meetkunde: de hyperbolische meetkunde waar en oneindig veel rechten bestaan door P die a niet snijden en de elliptische meetkunde waar er geen rechte bestaat met die eigenschap.

Om deze meetkunde te visualiseren kan men gebruik maken van het model van Beltrami-Klein of van de modellen van Poincaré.