Een alien

 

Op het bord staat de vergelijking

    \[x^3-19x^2+103x-247=0\]

Een alien komt binnen en roept: een drievoudige wortel! Net als wij heeft het buitenaards wezen 2 handen die onderling symmetrisch zijn. maar hoeveel vingers heeft hij (zij of het) aan elke hand?

antwoord

  • Als er een drievoudige wortel is dan is de vergelijking te schrijven onder de vorm (x-k)^3=0 of

        \[x^3-3kx^2+3k^2x-k^3=0\]

  • Nu is 247 geen derdemacht in ons tientallig stelsel, dus het gaat zeker al over een ander talstelsel. Noteer met b de basis van dat talstelsel.
  • De basis b moet even zijn, want onze alien heeft twee handen die symmetrisch zijn.
  • Verder moet b zeker groter zijn dan 10 want hij ziet het cijfer 9 staan.
  • Dus moet 3k=(19)_b of 3k=b+9. Hieruit volgt dat f=\frac{b+9}{3}.
  • Ook moet 3k^2=(103)_b of 3k^2=b^2+3. Als we hierin k vervangen door \frac{b+9}{3} vinden we 2b^2-18b-72=0. Bijgevolg is k=12 of k=-3. Dit laatste kan uiteraard niet.
  • Controleer nog of k ^3=(247)_b met b=12. Dit klopt.
  • Het buitenaards wezen heeft 6 vingers aan elke hand.

De gewichten van Bachet

Dit probleem werd 400 jaar geleden aangekaart door de Franse wiskundige Claude Gaspard Bachet de Méziriac(1581-1638): wat is de kleinst mogelijke verzameling gewichten waarmee je iedere gehele kilo van 1 tot 40 kan afwegen?

Eigenlijk staat dit raadsel in het liber Abaci van Leonardo Pisano(1202). Bachet was een dichter, vertaler en tolk en was de schrijven van het raadselboek Problèmes plaisants et délectable qui se font par les mombers(1612). In dit standaardwerk voor creatieve wiskunde staat onder andere dit probleem.

Elk natuurlijk getal tussen 1 en 40 kan je in het drietallig talstelsel schrijven. Daarvoor heb je enkel de getallen 1,3,9 en 27 nodig. Dit zijn onze basisgewichten. Maar hoe kunnen we dan alle gewichten tussen 1 en 40 afwegen?

  • In de drietallige schrijfwijze komen alleen nullen en enen voor: neem bvb. 13=(111)_3=1+3+9. Dus kan je met de gewichten 1,3,9 een gewicht van 13 afwegen.
  • Wat te doen als er een 2 voorkomt in de drietallige schrijfwijze? Neem bvb. (121)_3=1+2*3+9=1+(3-1)*3+9=1-3+2*9=1-3+(3-1)9=1-3-9+27=16  Je kan dit dan schrijven als 1+27 = 16 +3 +9. Leg dan de gewichten 1 en 27 op de linker schaal en de gewichten 3,9 samen met het gewicht 16 op de rechterschaal.
  • Omdat de som van 1,3,9 en 27 juist 40 is kan je dus zo elk gewicht tussen 1 en 40 afwegen!

Een getal raden

Je mag  een getal kiezen  uit de verzameling {0,1,2,…,15}. Hoe kan ik met een minimum aantal ja/neen vragen dit getal raden?

Antwoord

 

 

  • Een eerste mogelijk is te werken via de binaire schrijfwijze van het getal. Elk getal uit de gegeven verzameling heeft een unieke schrijfwijze met 4 nullen of enen in het tweetallig stelsel. Je n-de vraag is dan : is het n-de cijfer een 0 of een 1 (met n=1,2,3 of 4).
  • Met minder vragen lukt het niet want met 3 vragen kan je slechts 8 verschillende ja/neen antwoorden krijgen.
  • Een tweede mogelijkheid is werken met intervallen. Je vraagt eerst of het getal kleiner is dan 8. Is het antwoord ja dan deel je het interval terug is twee en vraagt of het getal kleiner is dan 4. was het antwoord op de eerste vraag neen, dan vraag je of het getal kleiner is dan 12. na vier vragen ( telkens het interval halveren) kom je bij een unieke oplossing.

 

Voetbalcompetitie

Een voetbaltoernooi met 4 ploegen geeft volgend resultaat. Je krijgt 2 punten bij een overwinning, 1 punt bij een gelijkspel en 0 punten bij verlies.

    \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} A&3&1&2&0&3-1&4 \text{pt}\\B&3&1&2&0&4-3&4 \text{pt}\\C&3&0&3&0&2-2&3 \text{pt}\\D&3&0&1&2&0-3&1 \text{pt} \end{array}\]

Zoek de resultaten van alle wedstrijden.

Spoiler

  • Ploeg C heeft 3 gelijkspelen( aangeduid met X) behaald: A-C =X, B-C=X en C-D=X.
  • Ploeg D heeft gelijkgespeeld tegen C en dus de andere twee wedstrijden verloren: A-D=1 en B-D=1 ( de 1 betekent dat de eerste ploeg wint).
  • Met vorige gegevens heeft A al 3 punten, dus met de resterende wedstrijd eindigen op een gelijkspel: A-B=X.
  • A moet tegen D winnen met 2 doelpunten verschil. De stand 3-1 kan niet vermits D geen enkel doelpunt heeft gemaakt.
    Dus A-D = 2- 0.
  • Analoog moet B-D= 1-0.
  • D heeft al 3 doelpunten tegen gekregen, dus moet C-D= 0-0.
  • A speelt gelijk tegen B . Ofwel is  A-b = 0-0 en dan is A-C=1-1; Ofwel is A-B = 1-1 en A-C= 0-0.
  • Bekijken we nu B tegen C. In het eerste geval hierboven zou B-C = 3-3, maar dat kan niet want C heeft maar 2 keer gescoord.
  • Volgens het tweede geval is dan B-C = 2-2. Dit kan! Dus is
    A-B = 1-1 en A-C= 0-0

 

 

Schuifpuzzel

 

De schuifpuzzel is een puzzel, meestal op een bord van 4  op 4 met 15 verschillende stukken en 1 leeg veld; Het wordt dan ook   15-puzzel genoemd, maar bestaat ook in andere afmetingen. De bedoeling is om de stukken terug in de goede volgorde te krijgen door de stukken te schuiven.

De oorspronkelijke versie van dit spel werd in 1874 ontwikkeld door de New Yorkse postdirecteur Noyes Palmer Chapman. De vierkantjes zaten los en de speler kon ze in willekeurige volgorde neerleggen en dan proberen de puzzel door schuiven op te lossen. In de afbeelding hierboven uit Sam Loyds Cyclopedia waren in de beginpositie de getallen 14 en 15 van plaats gewisseld. 

Niet elke beginpositie is oplosbaar. Wiskundigen hebben onderzocht welke beginopstellingen kunnen worden opgelost. Neem bijvoorbeeld bovenstaande puzzel, beter afgebeeld als:

Is dit oplosbaar?

Twee speltoestanden worden als equivalent gedefinieerd als de ene door een aantal malen schuiven in de andere kan worden overgevoerd. Deze relatie is een equivalentierelatie.  Of  de puzzel oplosbaar is betekent dus of bovenstaande schikking equivalent is met de begintoestand. Men kan aantonen dat twee speltoestanden equivalent zijn als de pariteit van de permutatie van de 16 elementen die de ene in de andere overvoert gelijk aan die van de ‘afstand’  tussen de lege velden van de twee speltoestanden (dit betekent dat de twee lege velden zoals bij een schaakbord dezelfde of een verschillende kleur hebben). Wat geeft dit nu voor onze opgave?

  • de lege vakken staan in begin en eind situatie opdezelfde plaats: dus pariteit 0
  • De eindsituatie wordt bekomen uit de beginsituatie via 1 transpositie ( 1 omkering: 14 versus 15); Dus is de permutatie oneven en heeft pariteit 1.
  • De twee pariteiten zijn verschillend en dus is de puzzel onoplosbaar. Er werd dus ten onrechte een prijs van 1000$ uitgereikt voor de oplossing!