Gauss perioden

Geplaatst op 8 december 2025 door admin

Wanneer je de naam Carl Friedrich Gauss hoort, denk je waarschijnlijk aan priemgetallen, normaalverdelingen of congruenties. Maar één van zijn minder bekende, maar prachtige ideeën zijn de Gauss-perioden: speciale sommen van complexe wortels van de eenheid die diepe structuren in de getaltheorie blootleggen.

Stel je eenheden op de complexe cirkel voor — de punten die je krijgt wanneer je complexe getallen van de vorm

$\epsilon_n=e^{\frac{2*\pi* i}{n}$

neemt. Dit zijn de n-de wortels van eenheid, gelijkmatig verdeeld op de eenheidscirkel.

Gauss ontdekte dat door bepaalde wortels van eenheid te groeperen en op te tellen, patronen zichtbaar werden die structureel waren, niet toevallig. Zulke gegroepeerde sommen worden Gauss-perioden genoemd.

Neem een positief geheel getal $n$ en laat $\epsilon_n$ een primitieve -de wortel van eenheid zijn. Als je de indexen opdeelt in groepjes (bijvoorbeeld restklassen modulo een priem), en je telt de overeenkomstige wortels op, dan krijg je Gauss-perioden.

Een typische Gauss-periode ziet er zo uit:

$\eta_k=\sum_{j \in C_k}\epsilon_n^j$

waar de $C_k$ disjuncte subsets van de indexen zijn die samen alle niet-nul indexen vormen.

Neem . De primitieve 7-de wortel van eenheid is $\epsilon_7$ .

De niet-nul getallen modulo 7 vormen een groep van 6 elementen. Die kun je opdelen in twee groepjes van drie via kwadratische residuen en niet-residuen:

De overeenkomstige Gauss-perioden zijn:

$\eta_1=\epsilon_7+\epsilon_7^2+\epsilon_7^4$

Voor grote waarden van n krijg je alzo prachtige tekeningen:

pi en de sommen van twee kwadraten

Geplaatst op 28 november 2025 door admin

Het aantal mogelijkheden om een natuurlijk getal n als een som van twee kwadraten van gehele getallen te schrijven hangt af van de aard van zijn ontbinding in factoren. Zij $n \in \mathbb{N}_0$ en stel dat $r_2(n)$ het aantal oplossingen is in $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ van de vergelijking $x^2+y^2=n$ .

$65=(\pm1)^2+(\pm8)^2=(\pm8)^2+(\pm1)^2=(\pm4)^2+(\pm7)^2=(\pm7)^2+(\pm4)^2$ , dus $r_2(65)=16$

Nu is elk priemgetal van de vorm $4k+1$ op slechts juist 1 manier te schrijven als de som van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Bovendien is er geen priemgetal van de vorm $4k+3$ dat de som is van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Men kan nu bewijzen dat:

$r_2(n)=4(A_n-B_n)$

Hierbij stel $A_n$ het aantal delers voor van n die gelijk zijn aan 1 modulo 4 en $B_n$ het aantal delers van n die gelijk zijn aan 3 modulo 4.

Controleren we dit even voor $n=65$ . De delers van 65 zijn $\{1,5,13,65\}$ . Alle vier de delers van 65 zijn gelijk aan 1 modulo 4, dus $A_{65}=4$ en $B_{65}=0$ . Onze formule geeft dan dat $r_2(65)=4(4-0)=16$ , wat overkomt met de waarneming hierboven.

Met $R_2(n)$ bedoelt men de som van alle $r_2(k)$ met $k\in \mathbb(N}$ en $0\leq k\leq n$ . Zo is $R_2(5)=r_2(0)+r_2(1)+r_2(2)+r_2(3)+r_2(4)+r_2(5)=14+4+0+4+8=21$ . Men kan eenvoudig zien dat $R_2(n$ het aantal roosterpunten voorstelt binnen of op de cirkel met vergelijking $x^2+y^2=n$ . Als men rond elk roosterpunt een vierkantje tekent met zijde 1, dan kan je gemakkelijk zien dat

$R_2(n)\approx n\pi$

Het voorbeeld van $n=5$ geeft volgende tekening:

Je kan het aantal roosterpunten tellen binnen of op de cirkel met straal $\sqrt{5}$ en men bekomt inderdaad 21. De oppervlakte van de cirkel is $\pi (\sqrt{5})^2=5\pi \approx 16$ en dat is een benadering van het resultaat 21. Hoe hoger n hoe beter de benadering.

Hieronder een Python programma voor de berekening van $r_2(n)$ voor n van 0 tot 20.

Gemiddelde waarde van een getal

Geplaatst op 8 oktober 2025 door admin

We definiëren de gemiddelde waarde a(n) van een getal nl als de verhouding van de som van de cijfers van het getal tot het aantal cijfers van dat getal.

Zo is $(a(47)=\frac{4+7}{2}=5,5$ , $a(123)=\frac{1+2+3}{3}=2$ en $a(999)=\frac{9+9+9}{3}=9$ .

Enkele eigenschappen:

$1\leq a(n)\leq 9$ , want de kleinst mogelijke som van de cijfers is 1 ( bvb 100000) en de grootste mogelijke som is 9k ( bvb 9999….9; k negens).
$a(n)$ kan alleen maar waarden aannemen van de vorm $\frac{k}{d}$ , waarbij d het aantal cijfers van n is en $1\leq k \leq 9d$ .
Voor grote getallen met veel cijfers geldt dat de cijfers gemiddeld zijn. Met andere woorden: voor grote getallen “concentreert” de rij $a(n)$ zich rond 4,5. De rij $a(n)$ zelf heeft geen limiet, want er zijn altijd getallen waarvoor $a(n)$ $)$ dicht bij 1 (bv. ) of dicht bij 9 (bv. ) komt.
De grafiek van de rij $a(n)$ vertoont de typische zaagtand-structuur zien: binnen elk blok van getallen met hetzelfde aantal cijfers stijgt $a(n)$ vaak wanneer je de cijfers optelt, en bij overgang naar een nieuw aantal cijfers valt $a(n)$ scherp terug (bv. bij 99→100 of 999→1000). Voor grotere

Een histogram voor de eerste 100000 getallen n :
Een interessante vraag zou ook zijn : wanneer is $a(n)$ een natuurlijk getal? Uiteraard als het getal n bestaat uit 1 cijfer. Je krijgt ook een leuk resultaat als n een getal is van 3 cijfers? Dan is $a(n)$ natuurlijk als de som der cijfers deelbaar is door 3. Maar dan is n zelf ook deelbaar door 3.

Ducci reeks

Geplaatst op 1 augustus 2025 door admin

De Ducci-reeks is een getallenreeks die ontstaat door herhaaldelijk het volgende proces toe te passen op een n-tal natuurlijke getallen:

Neem een reeks van n getallen, bvb (0,653,185,842).
Bereken een nieuwe reeks door de absolute waarde van het verschil te nemen tussen elk paar opeenvolgende getallen en sluit de reeks cyclisch af; dit wil zeggen trek het eerste getal af van het laatste. Dus het verschil nemen en het teken negeren.
In ons voorbeeld wordt het eerste getal van de nieuwe reeks 653-0; het tweede getal is 185-653 maar dan zonder minteken; het derde is 842-185; het laatste getal is 0-842, maar ook hier zonder minteken. Zo krijg je een nieuwe reeks (653,468,657,842).
Het proces kan nu herhaald worden op deze nieuwe reeks.

Een Python programma:

De Ducci-reeks werd in de jaren 1930 geïntroduceerd door een Italiaanse wiskundige E.Ducci (1864-1940). Het is duidelijk dat je na een aantal stappen ofwel een reeks bekomt met allemaal nullen ofwel dat je eindigt in een reeks die je eerder al gehad hebt en waardoor je een periodiek patroon krijgt. Een Python programma dat nakijkt welk patroon er optreedt:

Je kan nagaan dat elk viertal sowieso eindigt op een nulrij! je kan dit ook visualiseren:

Het rekenspelletje diffy wordt gebruikt om kinderen te leren aftrekken, en hen tegelijkertijd te leren om logisch na te denken en patronen te herkennen. Het kan gespeeld worden met gehele getallen, breuken, reële getallen en geldbedragen, maar meestal wordt gewerkt met natuurlijke getallen. Het spelletje begint met het invullen van vier willekeurige getallen in de vier cirkels op de buitenste hoekpunten. Daarna moeten de buitenste vierkanten ingevuld worden door telkens het kleinste getal af te trekken van het grootste getal op de twee naburige hoekpunten. Deze procedure waarbij naburige hoekpunten van elkaar afgetrokken worden en steeds naar binnen toe gewerkt wordt, moet telkens herhaald worden. Zie je een bepaald patroon ontstaan? Kan je het midden bereiken zonder een verschil te krijgen dat nul oplevert?

Hierboven staat een volledig ingevuld voorbeeld van een spelletje diffy. Zoals je kan zien is de speler niet gewonnen, omdat de vier cirkels die het dichtst bij het centrum gelegen zijn allemaal nullen bevatten. Dit spel is eigenlijk een Ducci reeks en we weten dat elk viertal na een eindig aantal stappen steeds op een nulrij zal eindigen, dus dit spel kan nooit gewonnen worden.

Mersenne priemgetallen

Geplaatst op 27 juli 2025 door admin

Een Mersenne-priemgetal is een speciaal soort priemgetal dat de vorm heeft:

$M_n=2^n-1$

waarbij n een natuurlijk getal is. Bijvoorbeeld:

$2^2-1=3$
$2^3-1=7$
$2^5-1=31$

Als zowel een priemgetal is én $2^ n-1$ óók een priemgetal oplevert, dan spreken we van een Mersenne-priemgetal.

Let op: niet elke waarde van die priem is, levert automatisch een Mersenne-priemgetal op. Zo is n = 11 een priemgetal, maar $2^{11}=2047=23*89$ is geen priemgetal

De naam Mersenne verwijst naar de Franse monnik en wiskundige Marin Mersenne (1588–1648). In zijn tijd onderzocht hij priemgetallen van de vorm $2^n-1$ en stelde hij een lijst samen van getallen waarvan hij dacht dat ze Mersenne-priemgetallen waren. Hoewel zijn lijst deels incorrect bleek (hij vergiste zich bij sommige waarden), werd zijn werk een belangrijk startpunt voor verder onderzoek naar deze getallen. Sindsdien zijn wiskundigen, zowel amateurs als professionals, gefascineerd geraakt door de unieke eigenschappen van Mersenne-priemgetallen.

In 1750 stelde Euler vast dat $M_{31}$ priem was. In die tijd waren er 8 gekende Mersenne priemgetallen, voor $p=2,3,5,7,13,17,19,31$ . $M_{31}$ bleef ongeveer een eeuw het grootste gekende Mersenne priemgetal. In 1876 vond de Franse wiskundige Lucas (1842-1891) een grotere: $M_{127}$ , een getal van 39 cijfers! De eerste 12 Mersenne priemgetallen (de 8 vorige en deze voor $p=61,89,107$ en $p=127$ ) werden allemaal met pen en papier berekend.

Met de komst van de eerste computers werden later ook priemen gevonden voor $p=521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11213$ , met dank aan de Amerikaanse wiskundigen Lehmer en Robinson.

George Woltman, een software ontwikkelaar, richtte in 1996 het GIMPS-project (Great Internet Mersenne Prime Search) op, dat wereldwijd vrijwilligers laat meerekenen. Het GIMPS is verantwoordelijk voor het vinden van de grootste priemgetallen ooit ontdekt, allemaal Mersenne-priemgetallen.

Momenteel is zijn er 52 Mersenne priemen gevonden en het grootste is gevonden voor $p=136279841$ . Het werd ontdekt op 12 oktober 2024 door Luke Durant uit San José (Californië).

Om het aantal cijfers te berekenen van $M_n$ , stellen we eerst vast dat $M_n$ en $M_n+1=2^n$ het zelfde aantal cijfers bevatten. Om het aantal cijfers van $2^n$ te bepalen , berekenen we $A=\log 2^n=n*\og 2\approx 0,30103*p$ . Voor bijvoorbeeld $M_{11213}$ , vinden we $A=3375,449...$ en dus dat $M_{11213}$ bestaat uit 3376 cijfers.

Hieronder zie je de grafiek van de exponenten van ontdekte Mersenne-priemgetallen door de tijd heen. Eeuwenlang bleef de exponent laag (onder de 1000). Vanaf de 20e eeuw, en vooral sinds de oprichting van GIMPS (1996), is er een explosieve stijging te zien.

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Getaltheorie

Gauss perioden

pi en de sommen van twee kwadraten

Gemiddelde waarde van een getal

Ducci reeks

Mersenne priemgetallen