Fractaal ontsnappingsspel

Peter is een geheim agent die gevangen gehouden wordt door terroristen Hij heeft een ontsnappingsplan: volg de kwadratische vergelijking z_{n+1}=z_n^2+c, waarbij de vloer van zijn kamer als het complexe vlak wordt bekeken en waar hij in de oorsprong staat.  Peter kent echter de constante c niet. Voor welke waarden van c heeft hij een kans op ontsnapping?

                                                 

Proberen we eerst c = 0. Maar dan wordt, voor elke n, z_n=0 en blijft hij steeds op dezelfde plaats. Als we andere waarden van c proberen, zijn er 3 mogelijkheden:

  1. De rij z_n convergeert naar een vast punt.
  2. De rij z_n wordt herhaald in een eindige cyclus van punten en wordt een periodieke rij.
  3. De rij z_n divergeert weg van de oorsprong en Peter heeft kans op ontsnapping.

Dit verhaal is eigenlijk het verhaal van de Mandelbrot verzameling, namelijk de verzameling van alle complexe getallen c waarvoor de baan van z_{n+1 }=z_n^2+c begrensd is ( dus niet divergeert) met startpunt (0,0).

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.