Opgave 29 | Wiskunde is leuk

n spelers spelen n spelen en winnen om de beurt. Telkens een speler wint, verdubbelt hij het bezit van zijn n-1 tegenspelers. Op het einde hebben ze allemaal evenveel. Hoeveel hadden ze in het begin?

Antwoord

Laten we eenvoudig beginnen met 3 spelers, die in het begin a,b en c bezitten. Het rijtje tussen resultaten van de eerste speler is (a, a-b-c,2(a-b-c),4(a-b-c)). Het rijtje voor de tweede speler is (b,2b,3b-a-c,2(3b-a-c)). tenslotte voor de derde speler (c,2c,4c,7c-a-b). Als ze allemaal evenveel hebben op het laatst dan moet 4(a-b-c)=2(3b-a-c)=7c-a-b.. Dit stelsels is gelijkwaardig met : 4b=7c en 4a=13c. Hieruit volgt dat a=13, b=7 en c=4.
Deze manier van werken wordt moeilijk voor willekeurige n.
Noteer met s het totaal bezit van alle spelers. Op het einde hebben ze dan allemaal $\frac{s}{n}$ .
Na het eerste spel heeft de eerste speler $a_1-a_2-\cdots-a_n=2a_1-s$ .
Al de volgende keren wordt zijn bedrag verdubbeld zodat hij op het einde $2^{n-1}(2a_1-s)=\frac{s}{n}$ heeft. Hieruit volgt dat $n2^na_1=s(2^{n-1}n+1)$ .
Een analoge redenering voor speler 2 geeft : $n2^na_2=s(2^{n-2}n+1)$ . Idem voor alle andere spelers.
Hieruit volgt dat ze allen op het einde $2^n$ bezitten en dat in het begin speler k een som van $2^{n-k}n+1$ heeft