Som van opeenvolgende getallen

Op hoeveel manier kan je, bijvoorbeeld, 45 schrijven als som van opeenvolgende getallen?

We stellen een formule op om de som van opeenvolgende getallen te berekenen. Stel $n=m+(m+1)+\dots+(m+k-1)$ . Hier bij is n de som, m het eerste getal en k het aantal getallen in die som.
Om die som te berekenen kan je de formule voor de som van de termen van een rekenkundige rij gebruiken: $n=\dfrac{1}{2}k.(m+m+k-1)$ .
Hieruit volgt:
$2n=k(2m+k-1)$
Als k even is dan is 2m + k – oneven en omgekeerd als k oneven is dan is 2m + k – 1 even. Bovendien is k kleiner dan 2m + k – 1.
We moeten 2n dus schrijven als een product van een even getal en een oneven getal. De kleinste van die 2 factoren is k en dat is het aantal termen in de som.
Ontbinden we n in priemfactoren: $n=2^r.p_1^{r_1}.\cdots .p_s^{r_s}$ . En dan is $2n=2^{r+1}.p_1^{r_1}.\cdots . p_s^{r_s}$ . Hierbij zijn $p_i$ verschillende (oneven) priemgetallen. Dit moeten we dan schrijven als product van een oneven en even getal
Noteer S(n) het aantal mogelijkheden om n te schrijven als een som van opeenvolgende getallen, dan is het duidelijk dat
$S(n)=(r_1+1).\cdots.(r_s+1)-1$
Terug naar ons voorbeeld $n=45$ . dan is $2n=90=2.3^2.5^1$ en is $S(45)=(2+1)(1+1)-1=5$ . We kunnen 45 op 5 manieren schrijven als som van opeenvolgende getallen.
Hoe vinden we nu die sommen? We kunnen eerst m berekenen uit $2n=k(2m+k-1)$ : $m=\dfrac{1}{2}(n-k+1)$ en we nemen k opeenvolgend als 2,3,5,6,9. Dit geeft:
$\begin{array}{c|c|c} k&m&\text{som}\\ \hline 2&22&22+23\\3&14&14+15+16\\5&7&7+8+9+10+11\\6&5&5+6+7+8+9+10\\9&1&1+2+3+4+5+6+7+8+9\end{array}$