9801 | Wiskunde is leuk

Mooie decimale schrijfwijze! Kan je dit verklaren?

Nu is $\frac{1}{99}=0,01010101...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{100}$ . Verder is $\frac{1}{9801}=\Big(\frac{1}{99}\Big)^2$ .

Je kan gemakkelijk narekenen dat

$\Big(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\Big)^2=x.\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$

Vervangen we nu hierin x door $\frac{1}{99}$ , dan krijgen we de gewenste decimale schrijfwijze. Maar waarom ontbreekt hierin de 98?

In de uitwerking staan de som $\frac{98}{100^{98}}+\frac{99}{100^{99}}\frac{100}{100^{100}}=\frac{1}{100^{100}}(980000+9900+100)=\frac{99}{100^{98}}$ .

Wat gebeurt er met $\frac{1}{998001}$ en $\frac{1}{99980001}$ ?