9801

Mooie decimale schrijfwijze! Kan je dit verklaren?

Nu is \frac{1}{99}=0,01010101...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{100}. Verder is \frac{1}{9801}=\Big(\frac{1}{99}\Big)^2.

Je kan gemakkelijk narekenen dat

    \[\Big(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\Big)^2=x.\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\]

Vervangen we nu hierin x door \frac{1}{99}, dan krijgen we de gewenste decimale schrijfwijze. Maar waarom ontbreekt hierin de 98?

In de uitwerking staan de som \frac{98}{100^{98}}+\frac{99}{100^{99}}\frac{100}{100^{100}}=\frac{1}{100^{100}}(980000+9900+100)=\frac{99}{100^{98}}

Wat gebeurt er met \frac{1}{998001} en \frac{1}{99980001}?

Madhava of Sangamagrama

Madhava ( c.1340 – c. 1425) was een Indische wiskundige en astronoom die een formule vond voor \frac{\pi}{4}.

Toch spreekt niemand hierover. Historici kennen de formule immers niet toe aan hem, maar aan de Schot James Gregory, die ze pas in 1667 officieel zou ‘ontdekken’. Madhava had ook gelijkaardige formules voor de sinus en de cosinus. Hij was de eerste die  reeksen gebruikte om goniometrische functies te benaderen. Deze formules zijn tot bij ons beland via de jezuïten.