De negatieve binomiale verdeling

Bij herhaalde onafhankelijke uitvoeringen van eenzelfde Bernoulli experiment (met succeskans p), kunnen we ook vragen wanneer we juist r keer succes hebben verkregen. Noteer met X de stochast die het tijdstip weergeeft van de r-de succes.

X heeft als waarden r,r+1,r+2,…
P(X = k) is de kans dat het r-de succes bereikt wordt bij de k-de beurt. Dit is de kans op $r - 1$ successen bij de eerste $k-1$ uitvoeringen vermenigvuldigd met de kans op succes bij de k-de uitvoering. Dus
$P(X = k)=\binom{r-1}{k-1}p^{r-1}q^{k-r}.p=\binom{r-1}{k-1}p^rq^{k-r}$
Deze verdeling heet de negatieve binomiale verdeling of Pascal verdeling, met parameters r en p.
Voor r=1 krijgen we uiteraard de geometrische verdeling met parameter p.
Het gemiddelde van deze verdeling is $E(X)=\frac{r}{p}$ .
De berekening van kansen i.v.m. een negatieve binomiale verdeling kan gebeuren met de tabellen van de binomiale verdeling. Noteer met Y de stochast van de binomiale verdeling met parameters k en p, dan geldt
$P(X=k)=\frac{r}{k}P(Y=r)$