Tag archieven: kansrekenen

De 2 enveloppenparadox

Geplaatst op door

Er zijn twee enveloppen. In de ene zit een bedrag , in de andere . Je kiest willekeurig een envelop.Vervolgens krijg je de mogelijkheid om te wisselen naar de andere envelop. De vraag is: is het rationeel om te wisselen, of maakt het niet uit?

Stel je kiest een envelop en opent die. Er zit bedrag Y in. Met kans 50% heb je de kleinere envelop, de andere bevat dan 2Y. Met kans 50% heb je de grotere envelop, de andere bevat \frac{1}{2}Y

De verwachte waarde van de andere envelop lijkt dan: E=0,5.2Y+0,5.\frac{1}{2}Y = \frac{5}{4}Y

Dus zou de andere envelop gemiddeld meer waard zijn. Dit suggereert dat je altijd beter af bent door te wisselen. Maar dat kan niet kloppen, want symmetrie: beide spelers kunnen redeneren dat ze moeten wisselen, en toch kan niet iedereen altijd winnen.

De bovengenoemde redenering berust op een denkfout. Weliswaar is de winst 100% in het ene geval en het verlies 50% in het andere, maar het betreft percentages van (stochastisch gezien) verschillende bedragen en absoluut gezien gaat het om hetzelfde bedrag. Op tafel liggen namelijk enveloppen met respectievelijk X zeg 1000 euro, en 2X, dus 2000 euro. Wisselen levert in het ene geval een winst van 100% van X, dus 1000 euro op, en in het andere geval een verlies van 50% van 2X, dus ook 1000 euro op. Het verwachte voordeel bij wisselen is dus 0. Er is geen winnende strategie.
 
 

 

Determinant vervolg

Geplaatst op door

Bereken de kans dat de determinant van een 3×3 matrix, met natuurlijke getallen als elementen,  oneven is.

 

  • Gegeven een matrix A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}.
  • Zijn determinant is

        \[det A =aei+bfg+dhc-gec-dbi-ahf\]

  • Omdat het gaat over even/oneven kunnen we modulo 2 werken. 
  • Determinant oneven betekent dan dat de determinant 1 is en dus dat de matrix inverteerbaar moet zijn.
  • Een matrix is inverteerbaar als de kolommen onafhankelijk zijn. Kies de eerste kolom willekeurig ( mag niet 000 zijn) . Dan heb je hiervoor 7 mogelijkheden.
  • De tweede kolom mag geen veelvoud zijn van de eerste, maw mag er niet aan gelijk zijn. Dus heb je hiervoor nog 6 mogelijkheden.
  • De derde kolom mag niet gelijk zijn aan de eerset of de tweede , maar ook niet gelijk aan de som van die twee ( en natuurlijk ook niet 000). Hiervoor heb je 4 mogelijkheden .
  • Er zijn 7x6x4=168 mogelijkheden om determinant 1 te vinden. Er zijn 2^9=512 mogelijke matrices te vormen met nullen en enen.
  • De kans dat een 3×3 matrix met natuurlijke elementen oneven is , is dus

        \[\frac{168}{512}\]

Determinant

Geplaatst op door

Bereken de kans dat de determinant van een 2×2 matrix, met natuurlijke getallen als elementen,  even is.

 

  • Gegeven een matrix A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}.
  • Zijn determinant is

        \[det A =ad-bc\]

  • Een product van twee natuurlijke getallen is oneven als beide getallen oneven zijn, dus de kans dat ad oneven is, is \frac{1}{4}. De kans dat ad even is, wordt dat \frac{3}{4}.
  • Nu is det A even als ad en bc beiden even zijn of beide oneven zijn.
  • De kans dat det A even is , is bijgevolg gelijk aan \frac{1}{4}.\frac{1}{4}+\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{10}{16}=0,625

De Poissonverdeling

Geplaatst op door

In vele praktische voorbeelden hebben we te maken met een zeer groot aantal (n) onafhankelijke uitvoeringen van hetzelfde Bernoulli experiment, waarbij de succeskans (p) zeer klein is en waarbij het gemiddeld aantal successen ( np) ongeveer constant is. In dat geval kunnen de binomiale kansen vervangen worden door volgende functie:

We zeggen dat X een Poissonverdeling heeft met parameter \lambda. De naam is ontleend aan de Franse wiskundige Siméon Poisson(1781-1840).

Er bestaan tabellen voor de Poissonverdeling. Het gemiddelde is E(X)=\lambda.

Een voorbeeld: Op 1 december ga ik voor mijn verjaardag naar een concert en bevind ik me in een zaal met 1000 personen. Noem X het aantal personen in de zaal die op dezelfde dag jarig zijn. Dan is X Poisson verdeeld met n=1000 en p=\frac{1}{365} en dus \lambda= \frac{1000}{365}\approx 2,74

Dan is P(X=0)=0,06; P(X=1)=0,18; P(X=2)=0,24 ; P(X=3)=0,22; P(X=4)=0,15; P(X=5)=0,08

De negatieve binomiale verdeling

Geplaatst op door

Bij herhaalde onafhankelijke uitvoeringen van eenzelfde Bernoulli experiment (met succeskans p), kunnen we ook vragen wanneer we juist r keer succes hebben verkregen. Noteer met X de stochast die het tijdstip weergeeft van de r-de succes.

  • X heeft als waarden r,r+1,r+2,…
  • P(X = k) is de kans dat het r-de succes bereikt wordt bij de k-de beurt. Dit is de kans op r - 1 successen bij de eerste k-1 uitvoeringen vermenigvuldigd met de kans op succes bij de k-de uitvoering. Dus

        \[P(X = k)=\binom{r-1}{k-1}p^{r-1}q^{k-r}.p=\binom{r-1}{k-1}p^rq^{k-r}\]

  • Deze verdeling heet de negatieve binomiale verdeling of Pascal verdeling, met parameters r en p.
  • Voor r=1 krijgen we uiteraard de geometrische verdeling met parameter p.
  • Het gemiddelde van deze verdeling is E(X)=\frac{r}{p}.
  • De berekening van kansen i.v.m. een negatieve binomiale verdeling kan gebeuren met de tabellen van de binomiale verdeling. Noteer met Y de stochast van de binomiale verdeling met parameters k en p, dan geldt

        \[P(X=k)=\frac{r}{k}P(Y=r)\]