Tag archieven: kansrekenen

De Poissonverdeling

Geplaatst op door

In vele praktische voorbeelden hebben we te maken met een zeer groot aantal (n) onafhankelijke uitvoeringen van hetzelfde Bernoulli experiment, waarbij de succeskans (p) zeer klein is en waarbij het gemiddeld aantal successen ( np) ongeveer constant is. In dat geval kunnen de binomiale kansen vervangen worden door volgende functie:

We zeggen dat X een Poissonverdeling heeft met parameter \lambda. De naam is ontleend aan de Franse wiskundige Siméon Poisson(1781-1840).

Er bestaan tabellen voor de Poissonverdeling. Het gemiddelde is E(X)=\lambda.

Een voorbeeld: Op 1 december ga ik voor mijn verjaardag naar een concert en bevind ik me in een zaal met 1000 personen. Noem X het aantal personen in de zaal die op dezelfde dag jarig zijn. Dan is X Poisson verdeeld met n=1000 en p=\frac{1}{365} en dus \lambda= \frac{1000}{365}\approx 2,74

Dan is P(X=0)=0,06; P(X=1)=0,18; P(X=2)=0,24 ; P(X=3)=0,22; P(X=4)=0,15; P(X=5)=0,08

De negatieve binomiale verdeling

Geplaatst op door

Bij herhaalde onafhankelijke uitvoeringen van eenzelfde Bernoulli experiment (met succeskans p), kunnen we ook vragen wanneer we juist r keer succes hebben verkregen. Noteer met X de stochast die het tijdstip weergeeft van de r-de succes.

  • X heeft als waarden r,r+1,r+2,…
  • P(X = k) is de kans dat het r-de succes bereikt wordt bij de k-de beurt. Dit is de kans op r - 1 successen bij de eerste k-1 uitvoeringen vermenigvuldigd met de kans op succes bij de k-de uitvoering. Dus

        \[P(X = k)=\binom{r-1}{k-1}p^{r-1}q^{k-r}.p=\binom{r-1}{k-1}p^rq^{k-r}\]

  • Deze verdeling heet de negatieve binomiale verdeling of Pascal verdeling, met parameters r en p.
  • Voor r=1 krijgen we uiteraard de geometrische verdeling met parameter p.
  • Het gemiddelde van deze verdeling is E(X)=\frac{r}{p}.
  • De berekening van kansen i.v.m. een negatieve binomiale verdeling kan gebeuren met de tabellen van de binomiale verdeling. Noteer met Y de stochast van de binomiale verdeling met parameters k en p, dan geldt

        \[P(X=k)=\frac{r}{k}P(Y=r)\]

Verwachtingswaarde

Geplaatst op door

Hoeveel keer moet je gemiddeld een eerlijk muntstuk opgooien om 5 keer na elkaar kop te krijgen?

Antwoord

  • Noteer met e de gezochte verwachtingswaarde van het aantal keer opgooien. We noteren K voor kop en M voor munt.
  • Stel dat je bij de eerste poging M gooit. Hiervoor heb je \frac{1}{2} kans. Dan heb je nog steeds geen enkele keer K gehad en dus moet je gemiddeld nog e+1 keer opgooien voordat je er bent. Die 1 komt van de poging die je al hebt ondernomen.
  • Heb je eerst K en dan M, en daartoe heb je \frac{1}{4} kans, dan moet je weer van vooraf aan beginnen en heb je gemiddeld e+2 pogingen nodig. De 2 staat er omdat je al 2 keer gegooid hebt( KM) en dan helemaal opnieuw moet beginnen. 
  • Werk zo verder de gevallen KKM ,KKKM,KKKKM en KKKKK af
  • Ga zo verder en dan krijg je volgende vergelijking :
    e=\frac{1}{2}(e+1)+\frac{1}{4}(e+2)+\frac{1}{8}(e+3)+\frac{1}{16}(e+4)+ \frac{1}{32}(e+5)+\frac{1}{32}.5
  • Oplossen van deze vergelijking geeft e=62.

Even en oneven elementen

Geplaatst op door

Hoe groot is de kans dat bij een permutatie van \{1,2,...,n\} geen 2 even elementen en geen 2 oneven elementen naast elkaar staan?

Of anders geformuleerd: Er zijn in een gezelschap een aantal jongens en een aantal meisjes. Ze moeten op 1 rij gaan staan. Hoe groot is de kans dat geen twee jongens of twee meisjes naast elkaar gaan staan?

  • Het totaal aantal permutaties van n elementen is n!.
  • Als n even is ( n = 2m) zijn er evenveel jongens als meisjes. Er zijn twee mogelijke schikkingen JMJM… of MJMJ…; Bij elk van de mogelijkheden kan je de jongens op m! manieren ordenen en ook de meisjes op m! manieren rangschikken. Het totaal aantal mogelijkheden is dus 2.m!.m!
  • Als n oneven is (n = 2m – 1) zijn er bijvoorbeeld m – 1 jongens en m meisjes. in dit geval kan je enkel MJM…krijgen en zijn er dus in het totaal (m-1)!.m! mogelijkheden.
  • Noteer met P(n) de kans dat geen twee jongens of twee meisjes naast elkaar gaan staan bij n personen. Als n = 2m, dan is

        \[K(2m)=K(2m-1)=\frac{m!}{m(m+1)...(2m-1)}\]

  • Zo is K(1)=K(2)=1; K(3)=K(4)=33,3% ; K(5)=K(6)=10% ; K(7)=K(8)=2,86% en K(9)=K(10)=0,79%

Geschiedenis van de kansrekening: deel 4

Geplaatst op door

Rond de eeuwwisseling hebben grote wiskundige zoals Poincaré(1854-1912) en Hilbert(1862-1943) geprobeerd om de kansrekening nieuw leven in te blazen. Zonder veel succes echter, omdat de kanstheorie gebouwd was op los zand. In 1919 was er een eerste poging tot axiomatisering  door Richard von Mises (883-1953), een Oostenrijkse wetenschapper en filosoof.

Zijn axioma’s steunden op de frequentiedefinitie van het begrip kans als limietwaarde van de relatieve frequentie, als het aantal proefnemingen oneindig groot wordt.

Rond 1920 was er veel wiskundig onderzoek rond de zogenaamde centrale limietstelling: gestandaardiseerde sommen van onafhankelijke toevalsveranderlijken hebben een verdelingsfunctie die dicht  bij de standaardnormale verdelingsfunctie ligt. Het woord centraal in centrale limietstelling verwijst naar de centrale rol die deze stelling speelt in de kanstheorie en de statistiek. Een eerste bewijs werd gegeven door Lyapunov in 1900. Belangrijke resultaten rond deze stelling en haar veralgemeningen kwamen in de twintiger jaren van de Rus Bernstein(1880-1968), de Fin Lindeberg(1876-1932)  en de Franse wiskundige Lévy(1886-1971). In veel van de bewijzen was de kanstheorie eerder bijzaak; alles kon met de klassieke analyse bewezen worden.