We beschrijven een manier om de waarden van een veelterm te berekenen als de waarden in opeenvolgende natuurlijke getallen gegeven zijn.
De (eerste) differentie van is:
De k-de differentie wordt dan gedefinieerd als:
Als de graad van gelijk is aan n, dan formuleren we volgende eigenschappen:
- De graad van
is
.
- De graad van
is
.
- Via inductie vinden we
is constant en
.
- De waarde van de constante
is
keer de co\”efficiënt\”ent van
in
.
.
Veronderstel dat een veelterm is van graad 2 en dat
en
, bereken dan
. We zouden een voorschrift voor f kunnen opstellen via interpolatie of door 3 van de gegevens in te vullen in
en dan het stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden op te lossen. Maar .. laten we eens de differenties berekenen:
Omdat we weten dat constant is kunnen we de tabel zelf aanvullen:
en vinden we dat .
Een ander voorbeeld: zo is er geen veelterm waarvoor geldt dat
voor elke positief natuurlijk getal n. Want :
. Dus wordt geen enkele differentie konstant en bestaat er geen veelterm met de gevraagde voorwaarde.