Nootje 34

Geplaatst op 15 mei 2023 door admin

Bereken de som van de coëfficiënten van de veelterm P(x) als
$(10x^{34}+2x^3+5)P(x)=2023x^{2023}$

Antwoord

Het is handig te weten dat de som van de coëfficiënten van een veelterm kan berekend worden door de getalwaarde van 1 te berekenen, dus $P(1)$ .
Vullen we 1 in bij de gegeven identiteit, dan vinden we: $(10+2+5)P(1)=2023$ ;
Hieruit volgt dat $P(1)=119$
De som van de coëfficiënten van de veelterm Px) is dus 119.

Nootje 29

Geplaatst op 6 oktober 2022 door admin

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

Noem de veelterm P(x).
Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10).
Neem een voorbeeld als test: $P(x)=x^3+4x+8$ . Dan is $P(10)=10^3+4*10+8=1048$ . In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig.
De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat $P(1)<10^k$ . Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan $10^k$ .
De tweede evaluatie is dan $P(10^k)$ .
Testje? Neem $P(x)=12x^3+145x+88$ . dan is $P(1)=245<10^3$ . Neem $k=3$ en bereken $P(10^3)$ . Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van $k=3$ cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.

Differentie veeltermen

Geplaatst op 21 december 2020 door admin

We beschrijven een manier om de waarden van een veelterm $P(x)$ te berekenen als de waarden in opeenvolgende natuurlijke getallen gegeven zijn.

De (eerste) differentie van $P(x)$ is:

$D_1(x)=P(x+1)-P(x)$

De k-de differentie wordt dan gedefinieerd als:

$D_k(x)=D_1(D_{k-1}(x))$

Als de graad van $P(x)$ gelijk is aan n, dan formuleren we volgende eigenschappen:

De graad van $D_1(x)$ is $n-1$ .
De graad van $D_k(x)$ is $n-k$ .
Via inductie vinden we
$D_k(x)=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}P(x+i)$
$D_n(x)$ is constant en $D_{n+1}(x)=0$ .
De waarde van de constante $D_n(x)$ is $n!$ keer de co\”efficiënt\”ent van $x^n$ in $P(x)$ .
$P(x+n+i)=\sum_(I=0}^n(-1)^{k-i}\binom{n+1}{i}p(x+i)$ .

Veronderstel dat $f$ een veelterm is van graad 2 en dat $f(1)=4,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=7$ en $f(5)=12$ , bereken dan $f(6)$ . We zouden een voorschrift voor f kunnen opstellen via interpolatie of door 3 van de gegevens in te vullen in $f(x)=ax^2+bx+c$ en dan het stelsel van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden op te lossen. Maar .. laten we eens de differenties berekenen:

Omdat we weten dat $D_2(x)$ constant is kunnen we de tabel zelf aanvullen:

en vinden we dat $f(6)=19$ .

Een ander voorbeeld: zo is er geen veelterm $P(n)$ waarvoor geldt dat $P(n)=2^n$ voor elke positief natuurlijk getal n. Want : $D_1(n)=2^{n+1}-2^n=2^n=P(n)$ . Dus wordt geen enkele differentie konstant en bestaat er geen veelterm met de gevraagde voorwaarde.

Oplossing door lineaire combinaties

Geplaatst op 1 januari 2020 door admin

Bekijk even het volgende probleem: gegeven zijn n verschillende reële getallen $m_1,\dots,m_n$ en $a_1,\cdots,a_n$ . Bepaal een veelterm P(x) zodat $P(m_i)=a_i$ voor $i:1...n$ .

Dit is eigenlijk een interpolatieprobleem, waarbij we een veeltermfunctie zoeken waarvan de grafiek door de n punten $(m_i,a_i)$ gaat. Natuurlijk kunnen we het stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden gaan oplossen dat ontstaat door de n punten in te vullen in de algemene vorm van een veeltermfunctie van graad n-1.

Een andere techniek bestaat erin eerst speciale gevallen op te lossen, waarbij één van de $a_i$ ’s gelijk is aan 1 en de andere aan 0. Dit is niet zo lastig : definieer $P_i(x)$ als het product van alle factoren $x-m_j$ waarbij j verschilt van i. Neem vervolgens $v_i(x)=\frac{P_i(x)}{P_i(m_i)}$ . Dan geldt inderdaad dat $v_i(m_i)=1$ en $v_i(m_j)=0$ voor elke j verschillend van i.

De uiteindelijke oplossing van het beginprobleem ontstaat nu door de gepaste lineaire combinatie te nemen van de gevonden veeltermen $v_i(x)$ , namelijk:

$P(x)=a_1v_1(x)+\cdots+a_nv_n(x)$

Dit noemt men ook wel eens de Lagrange interpolatie formule.(naar de Franse wiskundige Joseph-louis Lagrange( 1736-1813))

Een voorbeeld: f(x) is een veelterm van graad maximaal n waarvoor geldt dat $f(k)=\frac{n+1-k}{k+1}$ voor $k=0,1,...,n$ . Zoek f(n+1).

Spoiler

We zoeken dus een veeltermfunctie waarvan de grafiek gaat door de punten $(0,\frac{n+1}{1}),(0,\frac{n}{2}),...,(0,\frac{1}{n+1})$
Definieer $v_k(x)=x(x-1).....(x-n)$ waarbij de factor x-k weggelaten is.
Nu is $v_k(n+1)=\frac{(n+1)!}{n+1-k}$ . Verder is ook $v_k(k)=(-1)^{n-k}.k!.(n-k)!$ .
Gebruikmakend van de Lagrange interpolatie formule vinden we :
$f(n+1)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}$
Dit kunnen we herschrijven als
$f(n+1)=\sum_{l=1}^{n+1}(-1)^{n-l+1}\frac{(n+1)!}{l!(n+1-l)!}$
Via de uitwerking van het binomium van Newton voor $(1-1)^{n+1}$ vinden we tenslotte
$f(n+1)=(-1)^n$

Tekenregel van Descartes

Geplaatst op 27 augustus 2019 door admin

De tekenregel werd voor het eerst genoemd in het werk ‘La géometrie’ van René Descartes (1596-1650). Het gaat over veeltermen met reële coëfficiënten en we zijn geïnteresseerd in het aantal positieve nulwaarden. Veronderstellen we voor de rest van deze tekst dat de coëfficiënt van $x^n$ gelijk is aan 1, dat de constante term niet nul is en dat de veelterm geordend is naar afnemende machten van x.

Het fundamenteel theorema van de algebra zegt dat een veelterm van graad n steeds n nulwaarden heeft in $\mathbb{C}$ . Meestal zijn we niet in staat deze nulwaarden te vinden. Toch kunnen we informatie vinden over het aantal positieve reële nulwaarden ( p) en het aantal negatieve nulwaarden (n). Bestudeer hiervoor het aantal teken veranderingen in de rij van tekens van de niet nul zijnde coëfficiënten van de gegeven veelterm P(x):

De waarde p heeft dezelfde pariteit als het aantal tekenveranderingen.
De waarde p is kleiner of gelijk aan het aantal tekenveranderingen.
Om n te bepalen bepalen we p voor de veelterm P(-x).

Een voorbeeld: $P(x)=x^6-6x^5+10x^4-2x^3-3x^2+4x-12$ .

Er zijn 5 tekenveranderingen.
$p\leq 5$ en p is oneven, dus p = 1, 3 of 5
$P(-x)=x^6+6x^5+10x^4+2x^3-3x^2-4x-12$ . Er is 1 tekenverandering dus $n=1$ .
Narekenen geeft als nulwaarden: $-1$ en 2 met multipliciteit 2 en 3.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: veeltermen