Opgave 36 | Wiskunde is leuk

Wanneer deelt een natuurlijk getal n de uitdrukking $10^k-1$ voor een natuurlijke k?

Spoiler

Als n een veelvoud is van 2 of 5, dan is de enige mogelijkheid de triviale oplossing k=0.
Veronderstel dus verder dat n geen priemfactor 2 of 5 bevat.
Noteer met K(n) de kleinste, van 0 verschillende waarde van k, waarvoor $n|(10^k-1)$ .
Proberen we een aantal waarden uit:
$\begin{array}{c|c} n&K(n) \\ \hline \\ 3&1\\7&6\\9&1\\11&2 \end{array}$
Stel nu dat n, geen priemfactor 2 of 5 bevat, en een deler is van $10^k-1$ , dan bestaat er een natuurlijk getal a zodat $n.a=10^k-1$ .
Noteer de decimale schrijfwijze van a als $a=a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k$ .
Dan is $a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k=\frac{10^k}{n}-\frac{1}{n}$ .
Bij deling, van deze laatste vergelijking door $10^k$ vinden we:
$0,a_1\cdots a_{k-1}a_k=\frac{1}{n}-\frac{10^{-k}}{n}$
Als we steeds maar opnieuw delen door $10^k$ en alle bekomen formules lid per lid bij elkaar optellen vinden we
$\frac{1}{n}=0,a_1\cdots a_{k-1}a_ka_1\cdots a_{k-1}a_k\cdots$
Omgekeerd is het eenvoudig te zien dat, als $\frac{1}{n}$ een decimale ontwikkeling zoals hierboven heeft, dat n een deler is van $10^k-1$ .
Besluit: Als n geen priemfactor 2 of 5 bevat, dan in K(n) gelijk aan de lengte van de periode van $\frac{1}{n}$ .
Natuurlijk is elk veelvoud van k ook een goede oplossing.