Roosterpunten op een hyperbool

Beschouw de vergelijking

$3x^2-4xy+5=0$

Bij de vraag naar oplossingen $(x,y)$ van deze vergelijking is het nodig te specifiëren tot welke verzameling deze oplossingen moeten behoren. De grafiek, volgens Wolfram Alpha, is:

Elke reële oplossing bepaalt een punt van deze parabool.
De rationale oplossingen zijn
$\{(q,\frac{3q^2+5}{4q}: q\in \mathbb{Q}\}$
De hyperbool bevat dus ook oneindig veel punten met rationale coördinaten.
Zijn hier gehele oplossingen bij en zo ja dewelke? Als we op zoek zijn naar gehele oplossingen en als de vergelijking ook enkel gehele coëfficiënten heeft, spreken we van een Diophantische vergelijking.
Omdat
$3x^2-4xy+5=0\leftrightarrow x(3x-4y)=-5$
moeten, als x en y geheel zijn, zowel $x$ als $3x-4y$ gehele delers zijn van $-5$ . Dit aantal is eindig.
Dit geeft 4 oplossingen met gehele getallen of met andere woorden 4 roosterpunten op de hyperbool: $(1,2),(-1,-2),(5,4)$ en $(-5,-4)$