roosterpunten | Wiskunde is leuk

Het aantal mogelijkheden om een natuurlijk getal n als een som van twee kwadraten van gehele getallen te schrijven hangt af van de aard van zijn ontbinding in factoren. Zij $n \in \mathbb{N}_0$ en stel dat $r_2(n)$ het aantal oplossingen is in $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ van de vergelijking $x^2+y^2=n$ .

$65=(\pm1)^2+(\pm8)^2=(\pm8)^2+(\pm1)^2=(\pm4)^2+(\pm7)^2=(\pm7)^2+(\pm4)^2$ , dus $r_2(65)=16$

Nu is elk priemgetal van de vorm $4k+1$ op slechts juist 1 manier te schrijven als de som van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Bovendien is er geen priemgetal van de vorm $4k+3$ dat de som is van twee kwadraten van natuurlijke getallen. Men kan nu bewijzen dat:

$r_2(n)=4(A_n-B_n)$

Hierbij stel $A_n$ het aantal delers voor van n die gelijk zijn aan 1 modulo 4 en $B_n$ het aantal delers van n die gelijk zijn aan 3 modulo 4.

Controleren we dit even voor $n=65$ . De delers van 65 zijn $\{1,5,13,65\}$ . Alle vier de delers van 65 zijn gelijk aan 1 modulo 4, dus $A_{65}=4$ en $B_{65}=0$ . Onze formule geeft dan dat $r_2(65)=4(4-0)=16$ , wat overkomt met de waarneming hierboven.

Met $R_2(n)$ bedoelt men de som van alle $r_2(k)$ met $k\in \mathbb(N}$ en $0\leq k\leq n$ . Zo is $R_2(5)=r_2(0)+r_2(1)+r_2(2)+r_2(3)+r_2(4)+r_2(5)=14+4+0+4+8=21$ . Men kan eenvoudig zien dat $R_2(n$ het aantal roosterpunten voorstelt binnen of op de cirkel met vergelijking $x^2+y^2=n$ . Als men rond elk roosterpunt een vierkantje tekent met zijde 1, dan kan je gemakkelijk zien dat

$R_2(n)\approx n\pi$

Het voorbeeld van $n=5$ geeft volgende tekening:

Je kan het aantal roosterpunten tellen binnen of op de cirkel met straal $\sqrt{5}$ en men bekomt inderdaad 21. De oppervlakte van de cirkel is $\pi (\sqrt{5})^2=5\pi \approx 16$ en dat is een benadering van het resultaat 21. Hoe hoger n hoe beter de benadering.

Hieronder een Python programma voor de berekening van $r_2(n)$ voor n van 0 tot 20.

Beschouw de vergelijking

$3x^2-4xy+5=0$

Bij de vraag naar oplossingen $(x,y)$ van deze vergelijking is het nodig te specifiëren tot welke verzameling deze oplossingen moeten behoren. De grafiek, volgens Wolfram Alpha, is:

Elke reële oplossing bepaalt een punt van deze parabool.
De rationale oplossingen zijn
$\{(q,\frac{3q^2+5}{4q}: q\in \mathbb{Q}\}$
De hyperbool bevat dus ook oneindig veel punten met rationale coördinaten.
Zijn hier gehele oplossingen bij en zo ja dewelke? Als we op zoek zijn naar gehele oplossingen en als de vergelijking ook enkel gehele coëfficiënten heeft, spreken we van een Diophantische vergelijking.
Omdat
$3x^2-4xy+5=0\leftrightarrow x(3x-4y)=-5$
moeten, als x en y geheel zijn, zowel $x$ als $3x-4y$ gehele delers zijn van $-5$ . Dit aantal is eindig.
Dit geeft 4 oplossingen met gehele getallen of met andere woorden 4 roosterpunten op de hyperbool: $(1,2),(-1,-2),(5,4)$ en $(-5,-4)$

Wiskunde is leuk

Tag archieven: roosterpunten

pi en de sommen van twee kwadraten

Roosterpunten op een hyperbool