Telescopische som

Geplaatst op door

Eén van de technieken bij problem-solving bestaat eruit het probleem van een andere kant te bekijken of een eenvoudiger probleem te nemen. Illustreren we dit even met volgend probleem: Vereenvoudig:

    \[\sum_{n=1}^{2020}\tan n\tan(n+1)\]

  • We gaan het product herschrijven als een som zodat bij het sommeren van al die termen ze één voor één tegen elkaar wegvallen , op de eerste en laatste na.
  • Gebruik hiervoor de formule voor het berekenen van de tangens van een verschil: \tan((n+1)-n)=\tan 1=\frac{\tan(n+1)-\tan n}{1+\tan(n+1)\tan n}.
  • Hieruit volgt dat \tan n\tan(n+1)=\frac{\tan (n+1)-\tan n }{\tan 1}-1
  • Invullen in de opgave geeft :

        \[\frac{\tan 2021-\tan 1}{\tan 1}-2020=\frac{\tan 2021}{\tan 1}-2021\]