Binomiaalgetallen

15 december 201720 november 2017 door Hector

Het binomium van Newton zegt :

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^n$

De getallen $\binom{n}{k}$ noemt men de binomiaalcoëfficiënten. Je vindt ze terug in de driehoek van Pascal.

Een paar eigenschappen:

$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$
$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$
$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n$
$\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\cdots+(-1)^n\binom{n}{n}=0$
Als $p$ een priemgetal is dan is $p$ een deler van $\binom{p}{k}$ met $0<k<p$