Tag archieven: driehoek van Pascal

Veralgemening van de driehoek van Pascal

Geplaatst op door

In deze driehoek wordt elk element verkregen door de som te nemen van 3 elementen, namelijk het element erboven en de 2 elementen links daarvan. Zo is bijvoorbeeld het element 45 op de 6de rij gelijk aan de som 19 + 16 + 10. Als er op die plaatsen niets staat, wordt er 0 genomen.

De driehoek van Pascal is verbonden met het binomium van Newton. Deze veralgemeende versie van de driehoek van Pascal is verbonden met:

Zo kan je tevens gemakkelijk bewijzen dat de rijsom in deze veralgemeende versie steeds een macht van 3 is.  De rijsommen zijn inderdaad 1,3,9,27,81…

Dit is gemakkelijk te verklaren als je in bovenstaande formules a vervangt door 1.

Kwadraten in de driehoek van Pascal

Geplaatst op door

In de driehoek van Pascal kan je veel verbanden vinden. Vandaag gaan we op zoek naar kwadraten.

  • Kijk naar de derde kolom van de driehoeksgetallen 1,3,6,10,… en tel daar de elementen twee per twee op en je vindt de rij 4,9,16,25,… Hoe kan je dit verklaren?  De som van de elementen is altijd van de vorm

        \[\binom{n}{2}+\binom{n+1}{2}\]


    Uitrekenen geeft \frac{1}{2}n(n-1)+\frac{1}{2}n(n+1)=n^2.
  • Kijk naar de vierde kolom 1,4,10,20,35,56,…en bereken het verschil van de derde en de eerste, de vierde en de tweede enz. , dan vorm je de rij 9,16,25,… Verklaring?

        \[\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}\]

    Uitrekenen met de formule van Stiffel geeft: \Big(\binom{n+2}{3}-\binom{n+1}{3}\Big)+\Big(\binom{n+1}{3}-\binom{n}{3}\Big)=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}=n^2.