Determinant vervolg | Wiskunde is leuk

Bereken de kans dat de determinant van een 3×3 matrix, met natuurlijke getallen als elementen, oneven is.

Gegeven een matrix $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$ .
Zijn determinant is
$det A =aei+bfg+dhc-gec-dbi-ahf$
Omdat het gaat over even/oneven kunnen we modulo 2 werken.
Determinant oneven betekent dan dat de determinant 1 is en dus dat de matrix inverteerbaar moet zijn.
Een matrix is inverteerbaar als de kolommen onafhankelijk zijn. Kies de eerste kolom willekeurig ( mag niet 000 zijn) . Dan heb je hiervoor 7 mogelijkheden.
De tweede kolom mag geen veelvoud zijn van de eerste, maw mag er niet aan gelijk zijn. Dus heb je hiervoor nog 6 mogelijkheden.
De derde kolom mag niet gelijk zijn aan de eerset of de tweede , maar ook niet gelijk aan de som van die twee ( en natuurlijk ook niet 000). Hiervoor heb je 4 mogelijkheden .
Er zijn 7x6x4=168 mogelijkheden om determinant 1 te vinden. Er zijn $2^9=512$ mogelijke matrices te vormen met nullen en enen.
De kans dat een 3×3 matrix met natuurlijke elementen oneven is , is dus
$\frac{168}{512}$