Hoektransversalen in een driehoek

Neem een driehoek ABC. Een rechte l door een hoekpunt A van de driehoek heet hoektransversaal of ceviaan van A. We onderzoeken onder welke voorwaarden de hoektransversalen van A,B en C door één punt gaan.

Voor een willekeurig punt P op een hoektransversaal beschouwen we de verhouding van de afstanden tot de twee zijden.
Omdat $\dfrac{P_1R_1|}{|P_1Q_1|}=\dfrac{P_2R_2|}{|P_2Q_2|}$ , is deze verhouding constant. Noem deze constante $v_1$ Bij elke transversaal hoort een dergelijke constante. Bereken ze met de klok mee. Nu geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als $v_1v_2v_3=1$ . Zo geldt bijvoorbeeld voor de binnenbissectrices van een driehoek dat $v_1=v_2=v_3=1$ , dus: de drie binnenbissectrices van een driehoek gaan door één punt.
Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan moet men aan de constanten $v_i$ enkel een ander teken geven. Hetr esultaat van hierboven blijft behouden.
We kunnen een hoektransversaal ook kenmerken door de verhouding $u_i$ van de oppervlaktedelen waarin de driehoek door de ceviaan verdeeld wordt.
$U_1=\dfrac{\text{opp} AA'C}{\text{opp} AA'B}=\dfrac{|A'C|}{|A'B|}$ . Het is eenvoudig te zien dat $u_1u_2u_3=v_1v_2v_3$ en dus geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als $u_1u_2u_3=1$ . Onder deze vorm is de stelling ook gekend als de stelling van Ceva.
Nu geldt bijvoorbeeld voor de zwaartelijnen van een driehoek dat $u_1=u_2=u_3=1$ , dus: de drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.
We kunnen dit ook ondzerzoeken voor de drie hooigtelijnen.
$u_1=\dfrac{b \cos \gamma}{c \cos \beta}$ , $u_2=\dfrac{c \cos \alpha}{a \cos \gamma}$ en $u_3=\dfrac{a \cos \beta}{b \cos \alpha}$ en dus is $u_1u_2u_3=1$ . Bijgevolg geldt: de drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.