Nootje 28 | Wiskunde is leuk

Toon aan dat de som van de breuken $\frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac}$ gelijk is aan hun product.

Spoiler

Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen $\alpha,\beta ,\gamma$ met $-\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2}$ zodat $a=\tan \alpha,b=\tan \beta$ en $c=\tan \gamma$ .
We moeten dan bewijzen dat $\tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha)$ .
Of als $x+y+z=0$ , dat $\tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z$ .
Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door $-(x+y)$ .