Nootje 57

Geplaatst op 13 juni 2025 door admin

Een getal van 5 cijfers is een veelvoud van 41. Als het meest links geschreven cijfer helemaal achteraan wordt geplaatst en dus het laatste cijfer wordt, dan is het nieuwe getal een volkomen derde macht; Welk is het oorspronkelijk getal

Antwoord

Noem x het gezochte getal; zij a het eerste cijfer van x en b het getal gevormd door de laatste 4 cijfers van x.
Dan is $x=a.10^4+b$ .
Nu moet dus $a.10^4+b=41m$ en $10b+a=k^3$ .
Omdat $k^3$ een getal is van 5 cijfers, zal $22 \leq k\leq 46$ .
Uit de tweede voorwaarde vinden we dat $a=k^3-10b$ . Ingevuld in de eerste voorwaarde geeft dit $(k^3-10b).10^4+b=41m$ , of uitgewerkt:
$10^4k^3-99999b=41m$
41 is een deler van het rechter lid en 41 is ook een deler van 99999 omdat 99999 = 41*2439. Dus moet $k^3$ een veelvoud zijn van 41 en rekening houdend met $22 \leq k\leq 46$ volgt hieruit dat $k=41$ en $k^3=68921$ .
Het gevraagde getal is dus 16892

Geplaatst op 27 mei 2025 door admin

Antwoord

De som van deze termen is de som van termen van een rekenkundige rij en wordt gegeven door het gemiddelde van de eerste term (n) en de laatste term (n+k) te vermenigvuldigen met het aantal termen (k+1):
Dus S= $\frac{1}{2}(k+1)(2n+k)=1000=2^3.5^3$ . Bijgevolg moet
$(k+1)(2n+k)=2^4.5^3$
We kunnen nu twee gevallen onderzoeken: eerst onderzoeken we de situatie als k even is, dan is k+1 oneven en 2n+k even en dit levert volgende mogelijkheden
k+1=1 en 2n+k=2000 dus k=0 en n=1000 (triviale oplossing)
k+1=5 en 2n+k= 400 dus k=4 en n= 198
k+1=25 en 2n+k=80 dus k=24 en n=28
k+1=125 en 2n+k= 16 dus k=124 en n=-56 ( geen goede oplossing)
Stel dat k oneven is, dan is k+1 even en 2n+k oneven en dan is de enige mogelijkheid k+1=16 en 2n+k=125, dus k=15 en n=55
Er zijn dus 4 oplossingen:
1000
198,199,200,201,202
28,29,…,51,52
55,56,…,69,70

Geplaatst op 27 maart 2025 door admin

Bepaal de oppervlakte van het blauwe deel, beschreven door twee halve cirkels in een vierkant met zijde 8 cm.

Antwoord

Bij dit soort opgaven is het handig om tekening te “herschikken”:

En dan is het duidelijk dat het blauwe gebied eigenlijk een half vierkant vormt. De oppervlakte is dan $\frac{1}{2}8^2=32$ vierkante centimeter.

Geplaatst op 4 maart 2025 door admin

Bereken de oppervlakte van volgende vierhoek:

Antwoord

We vervolledigen deze vierhoek tot een driehoek.
De tophoek is $30^\circ$ en via de definitie van sinus en tangens kan je de zijden berekenen in de bovenste kleine driehoek: 2 en $\sqrt{3}$ .
In de grote driehoek kan je via de definitie van tangens de basis AD berekenen: $\frac{4}{\sqrt{3}}$ .
De oppervlakte van de vierhoek ABCD is het verschil van de oppervlaktes van de grote en de kleine driehoek : $\frac{8}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{6}$

Geplaatst op 3 augustus 2024 door admin

Antwoord

$f(14,52)=f(14,14+38)$ . Pas nu regel 3 toe:
$f(12,52)=\frac{52}{38}f(14,38)$ . Nu is $38=14+24$ . Pas opnieuw regel 3 toe en we krijgen:
$f(12,52)=\frac{52}{24}f(14,14+10)$ . Nogmaals regel 3:
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(14,10)$
We draaien de argumenten om volgens regel 2 en we vinden
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,14)$
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,10+4)=\frac{52}{10}.\frac{14}{4}.f(10,4)$
Omdraaien : $f(12,52)=\frac{91}{5}.f(4,4+6)=\frac{91}{3}.f(4,4+2)$
Nog maar een keer regel 3 geeft : $f(12,52)=91.f(4,2)=91.f(2,2+2)$ .
Uiteindelijk bekomen door regel 3 en regel 1 het antwoord:
$f(14,52)=91.2.f(2,2)=91.2.2=364$