Wiskunde is leuk

Nootje 72

Geplaatst op 28 maart 2026 door admin

Voor welke gehele waarde van k heeft de veelterm $P(x)=x^3-87x^2+181x+k$ drie gehele nulwaarden?

Antwoord

Noem de drie nulwaarden a,b en c.
Dan moet $a+b+c=87$ . Omdat 87 oneven is moeten van $a,b$ en $c$ er twee even en één oneven zijn ofwel moeten ze alle drie oneven zijn.
Verder moet $ab+ac+bc=181$ . Als er twee van de drie nulwaarden even zijn is het linkerlid zeker even en vermits het rechterlid oneven is, is dit onmogelijk.
Bijgevolg zijn de drie nulwaarden alle drie oneven. Stel $a=1+2d,b=1+2e$ en $c=1+2f$ .
Dan moet $(1+2d)(1+2e)+(1+2e)(1+2f)+(1+2f)(1+2d)=181$ . Uitgewerkt geeft dit:
$3+4(d+e+f+de+df+ef)=181$
Dus: $4(d+e+f+de+df+ef)=178$ . Dit is onmogelijk, want het linkerlid is een viervoud en het rechterlid niet.
Er is dus geen gehele waarde van k te vinden waarvoor de gegeven veelterm drie gehele nulwaarden heeft.

Nootje 71

Geplaatst op 10 maart 2026 door admin

13 zwarte kippen, 14 grijze kippen en 12 witte kippen leggen samen in twee weken 58 eieren.

11 zwarte kippen, 10 grijze kippen en 9 witte kippen leggen samen in drie weken 65 eieren.

Hoeveel eieren lebben 5 zwarte, 22 grijze en 15 witte kippen samen in 1 week?

Antwoord

We herleiden alles tot het leggen in 1 week en stellen met x,y en z het aantal eieren voor, door respectievelijk de zwarte, grijze en witte kippen gelegd in 1 week.
Met k noteren we het gezochte aantal eieren in 1 week.
$\begin{cases} 13x+14y+12z=29\\33x+30y+27z=65\\5x+22y+15z=k\end{cases}$
De determinant van dit stelsel is nul. De derde vergelijking is dus een lineaire combinatie van de eerste twee: $V_3=aV_1+bV_2$ .
Of ook $k=29a+65b$ .
Uit de coëfficiënten van x en y leiden we een stelsel af met onbekenden a en b:
$\begin{cases} 13a+33b=5\\14a+30b=22 \end{cases}$
Hieruit volgt dat $a=8$ en $b=-3$ en dan is $k=37$
Er worden door 5 zwarte, 22 grijze en 15 witte kippen dus 37 eieren gelegd in 1 week.

Nootje 70

Geplaatst op 4 maart 2026 door admin

Bepaal de som A van alle natuurlijke getallen tussen $\sqrt[3]{2026}$ en $\sqrt{2026}$ .

Antwoord

Omdat $12^3=1728$ en $13^3=2197$ weten we dat $12<\sqrt[3]{2026}<13}$ .
Omdat $45^2=2025$ en $46^2=2116$ weten we dat $45<\sqrt{2026}<46$ .
Dan is $A=13+14+\cdots+45$ .
We kunnen deze som berekenen door de formule te gebruiken van de som van de termen van een rekenkundige rij. Deze som is het product van het gemiddelde van de eerste en laatste term met het aantal termen.
Bijgevolg is
$A=\frac{13+45}{2}\times 33=957$

Nootje 67

Geplaatst op 6 februari 2026 door admin

Zoek een natuurlijk getal n zodat 4n+808 en 9n+1621 allebei volkomen kwadraten zijn.

Antwoord

Er moet dus een natuurlijk getal p en q bestaan waarvoor geldt dat $p^2=4n+808$ en $q^2=9n+1621$ .
Bereken nu $9p^2-4q^2$ . Dit geeft de waarde $788=2^2. 197$ .
Door ontbinding in factoren vinden we dat $(3p-2q)(3p+2q)=2^2.197$ .
Daaruit volgt dat $(3p-q,3p+q)=(1,788)$ of $(2,394)$ of $(4,197)$ .
Enkel de tweede mogelijk kan en dan vinden we $p=66$ en $q=98$ .
Dan vinden we dat $n=887$ .

nootje 65

Geplaatst op 13 november 2025 door admin

Zoek het kleinste natuurlijk getal groter of gelijk aan 10 waarvoor $n+6$ priem is en $9n+7$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

$9n+7=9(n+6)-47$ .
$n+6$ is een priemgetal groter dan 2 en is dus oneven; bijgevolg is $9(n+6)-47$ een even getal als verschil van twee oneven getallen.
Omdat $9n+7$ een volkomen kwadraat moet zijn, moet $9n+7=(2m)^2$ .
Hieruit volgt dat $n=\frac{4m^2-7}{9}$ .
Onderzoeken we nu voor welke waarden van m de uitdrukking $4m^2-7$ deelbaar is door 9 en waarvoor dan een goede n kan worden gevonden.
Als $m=2$ dan is $n=1$ wat onmogelijk is, omdat n minstens 10 moet zijn.
Als $m=7$ dan is $n=21$ , maar dan is $n+6=27$ en dat is geen priemgetal.
Als $m=11$ dan is $n=53$ en $n+6=59$ en dat is wel priem.
$n=53$ is het kleinst mogelijke getal dat voldoet aan de gevraagde voorwaarden.