Opgave 35 | Wiskunde is leuk

N is een natuurlijk getal. Een goede verdeling van N is een partitie van $\{1,2,\cdots,N\}$ in twee gescheiden, niet lege deelverzamelingen $S_1$ en $S_2$ , zo dat de som van de elementen van $S_1$ gelijk is aan het product van de elementen van $S_2$ . Bewijs dat voor $N\geq 5$ er altijd een goede verdeling bestaat.

Spoiler

Laten we eerst even op verkenning gaan en kijken of we een goede verdeling vinden voor 5,6 en 7.
Voor 5 vinden we $S_1=\{3,5\}$ en $S_2=\{1,2,4\}$ .
Voor 6 vinden we $S_1=\{3,4,5\}$ en $S_2=\{1,2,6\}$ .
Voor 7 vinden we $S_1=\{2,4,5,7\}$ en $S_2=\{1,3,6\}$ .
In deze voorbeelden vinden we $S_21$ van de vorm $\{1,x,y\}$ . Proberen we eens of dit altijd kan!
$S_1$ is het complement van $S_2$ dus we krijgen een goede verdeling als
$\frac{N(N+1)}{2}-1-x-y=xy$
Uitgewerkt geeft dit $(x+1)(y+1)=\frac{N(N+1)}{2}$ .
Als nu $N\geq 5$ en N even is , dan kunnen we voor x en y volgende oplossingen vinden:
$x=\frac{N}{2}-1 \text{ en } y=N$
Als N echter oneven is, vinden we:
$x=\frac{N+1}{2}-1 \text{ en } y=N-1$
We hebben dus een constructie bewijs gegeven van het gevraagde.