Tag archieven: wiskunde

Nootje 55

Geplaatst op door

Bepaal de oppervlakte  van het blauwe deel, beschreven door twee halve cirkels in een vierkant met zijde 8 cm.

Antwoord

Bij dit soort opgaven is het handig om tekening te “herschikken”:

En dan is het duidelijk dat het blauwe gebied eigenlijk een half vierkant vormt. De oppervlakte is dan \frac{1}{2}8^2=32 vierkante centimeter.

Sangaku 12

Geplaatst op door

 

Antwoord

  • We veronderstellen dat hier een regelmatige zevenhoek getekend staat. Dus er gaat een cirkel door de zeven punten 
  • We zoeken naar een verband tussen a, b en c
  • Beschouw de koordenvierhoek ACDE
  • Daarin zijn |AD|=|AE|=c, |AC|=|CE|=b en |CD|=|CE|=a.
  • Gebruiken we de stelling van Ptolemaeus in deze vierhoek: het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden:

        \[bc=ab+ac\]

  • Delen door abc geeft uiteindelijk :

        \[\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\]

Opgave 35

Geplaatst op door

N is een natuurlijk getal. Een goede verdeling van N is een partitie van \{1,2,\cdots,N\} in twee gescheiden, niet lege deelverzamelingen S_1 en S_2, zo dat de som van de elementen van S_1 gelijk is aan het product van de elementen van S_2. Bewijs dat voor N\geq 5 er altijd een goede verdeling bestaat.

Spoiler

  • Laten we eerst even op verkenning gaan en kijken of we een goede verdeling vinden voor 5,6 en 7.
  • Voor 5 vinden we S_1=\{3,5\} en S_2=\{1,2,4\}.
  • Voor 6 vinden we S_1=\{3,4,5\} en S_2=\{1,2,6\}.
  • Voor 7 vinden we S_1=\{2,4,5,7\} en S_2=\{1,3,6\}.
  • In deze voorbeelden vinden we S_21 van de vorm \{1,x,y\}. Proberen we eens of dit altijd kan! 
  • S_1 is het complement van S_2 dus we krijgen een goede verdeling als

        \[\frac{N(N+1)}{2}-1-x-y=xy\]

  • Uitgewerkt geeft dit (x+1)(y+1)=\frac{N(N+1)}{2}.
  • Als nu N\geq 5 en N even is , dan kunnen we voor x en y volgende oplossingen vinden:

        \[x=\frac{N}{2}-1 \text{ en } y=N\]

  • Als N echter oneven is, vinden we:

        \[x=\frac{N+1}{2}-1 \text{ en } y=N-1\]

  • We hebben dus een constructie bewijs gegeven van het gevraagde.

Nootje 27

Geplaatst op door

 

 

 

Spoiler

  • We zoeken de grootste waarde van een natuurlijk getal x waarvoor \sqrt{x^2-2021} een natuurlijk getal is. Noem dit getal n.
  • Dan geldt: x^2-2021=n^2 of x^2-n^2=2021
  • 2021 heeft 4 delers: 1,43,47 en 2021.
  • Dus is (x-n)(x+n)=1.2021 of (x-n)(x+n)=43.47
  • Uit de eerste gelijkheid volgt dat x-n=1 en x+n=2021. Bijgevolg is x=1011 en n=1010.
  • Uit de tweede gelijkheid volgt dat x-n=43 en x+n=47. Bijgevolg is x=45 en n=2.
  • De grootst mogelijk waarde van x is dus 1011.

De volhardingswaarde

Geplaatst op door

Neem een willekeurig getal, zeg 56 en vermenigvuldig de cijfers. dan bekom je 5*6=30. Bij dit getal neem je opnieuw het product van de cijfers: 3*0=0. Als je nu verder zou gaan met het product van de cijfers te nemen, dan verandert er niets meer. Na 2 stappen bekom je dus een getal van 1 cijfer. We noemen 2 de volhardingswaarde van het gegeven getal 56.

Algemeen: Neem dus een willekeurig getal, vermenigvuldig alle cijfers met elkaar, zodat je een nieuw getal krijgt. Als dat getal meerdere cijfers bevat, herhaal je het proces van cijfers vermenigvuldigen, totdat je maar 1 cijfer over houdt. Het aantal stappen dat je daarvoor nodig hebt noem je de volhardingswaarde van het gegeven getal.

Een programma in Python:

Is er een maximaal aantal stappen voor een willekeurig getal? Dit ‘eenvoudig’ probleem werd bedacht door Neil Sloane, een Amerikaanse wiskundige.

We kennen hem het best van zijn website (oeis.org) met zijn verzameling getallenreeksen. In 1973 schreef hij in Journal of Recreational Mathematics een artikel over het probleem van de volhardingswaarde. Hij beweerde dat we maximaal 11 stappen kunnen maken eer we een enkel cijfer over houden, hoe groot het begin getal ook is. Dit vermoeden werd tot op heden nog niet bewezen.

Het kleinste getal met volhardingswaarde 1 is uiteraard 10. Verder is 25 het kleinste getal met volhardingswaarde 2, 39 het kleinste getal met volhardingswaarde 3, 77 het kleinste getal met volhardings-waarde 4 en 679 het kleinste getal met volhardingswaarde 5.

De kleinste getallen met volhardingswaarden 6,7,8,9,10 en 11 zijn respectievelijk 6788,68889,2677889,26888999,3778888999 en 277777788888899.