Ongelijkheden en gemiddelden

Geplaatst op door

Neem n positieve getallen x_1,x_2,\cdots,x_n. Dan definieren we:

  • Het rekenkundige gemiddelde: RG = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.
  • Het meetkundig gemiddelde: MG = \sqrt[n]{x_1.x_2.\cdots.x_n}.
  • Het harmonisch gemiddelde: HG = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}.
  • Het r-de machtsgemiddelde: P_r =\sqrt[r]{ \dfrac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n}}. Voor r=2 spreken we ook van het kwadratisch gemiddelde.

Als r<s, dan geldt volgende ongelijkheid:

    \[HG\leq MG\leq RG\leq P_r\leq P_s\]

De gelijkheid krijgen we als x_1=x_2=\cdots=x_n.

Voor twee positieve getallen a en b vinden we zo:

    \[\dfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \leq \sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}}\]