Wiskunde is leuk

Gemiddelden visueel voorgesteld

Geplaatst op 13 december 2022 door admin

Lees in dit artikel hoe je in een trapezium het rekenkundig, het meetkundig, het harmonisch en het kwadratisch gemiddelde kan terugvinden.

Geplaatst op 9 februari 2019 door admin

Stel die 4 opeenvolgende getallen voor door 2k, 2k+2, 2k+4 en 2k+6.
De som van d eandere getallen is dan $\frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12)$ .
Het gemiddelde is dan $\frac{\frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12)}{n-4}=\frac{825} {16}$ .
Hieruit volgt dat $825(n-4)=8n(n+1)-16(8k+12)$ .
8 is een deler van het rechterlid en dus ook van het linkerlid. Bijgevolg bestaat er een geheel getal m waarvoor $n-4=8m$ . Ingevuld in vorige vergelijking vinden we dan dat $825m=64m^2+72m-16k-4$ .
4 deelt het rechterlid en dus ook het linkerlid, dus bestaat er een geheel getal l zodat $m=4l$ . Invullen geeft dan $256l^2-753l=4k+1$ .
Nu is $2k+6\leq n=8m+4=32l+4$ . Bijgevolg is $k\leq 16l-1$ en dus ook $4k+1\leq 64l-3$ .
Uit vorige twee punten volgt dan dat $256l^2-753l\leq 64l-3$ of
$256l^2-817l+3\leq 0$
Enkel $l=1,2,3$ voldoen en omdat $4k+1=256l ^2-753l$ , zal uiteindelijk enkel $l=3$ een oplossing geven voor k, namelijk $k=11$ .
De 4 gezochte getallen zijn dan 22, 24, 26 en 28.

Geplaatst op 24 mei 2018 door admin

De vraag die we willen behandelen in deze tekst luidt:

Her RG is vrij eenvoudig: construeer het lijnstuk door de middens van de opstaande zijden. Volgens de stelling van Thales is $|EF|=\frac{1}{2}(|AB|+|CD|)$
Voor het harmonisch gemiddelde construeren we het lijnstuk, evenwijdig aan de evenwijdige zijden, door het snijpunt van de twee diagonalen van het trapezium.
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken FDE en ADB, CEG en CAB, DEC en EAB volgt dat $|FE|=|EG|$ . Construeer nu , door C, een evenwijdige aan AD. Noteer $|AB|=a,|CD|=b$ en $|FG|=x$
Nu is $|EH|=b-\frac{1}{2}x$ en $|HG|=x-b$ . De 3 concurrente rechten AC,IC en BC worden gesneden door 2 evenwijdige rechten, dus geldt volgens Thales dat $\frac{|EH|}{|AI|}=\frac{|GH|}{|BI|}$ of $\frac{b-\frac{1}{2}x}{b}=\frac{x-b}{a-b}$ . Hieruit volgt dat $x=\frac{2ab}{a+b}$ en dit betekent dat $|EF|$ het harmonisch gemiddelde is van de twee evenwijdige zijden van het trapezium.

Geplaatst op 3 april 2018 door admin

Antwoord

In de eerste ongelijkheid stellen we $a+b=x$ , $b+c=y$ en $a+c=z$ , dan wordt de opgave herschreven als $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ of $(x+y+z)\Big( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Big )\geq 9$ .
We werken de haakjes uit en vinden: $3+\Big( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Big)+\Big( \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\Big)+\Big( \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\Big) \geq 9$ .
Uit de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde vinden we dat $\frac{1}{2}\Big( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Big) \geq \sqrtç \frac{x}{y}\frac{y}{x}=1$ , dus het linkerlid uit vorig punt is groter of gelijk aan $3+2+2+2=9$ wat moest bewezen worden.
Voor het tweede deel van de ongelijkheid gebruiken we de ongelijkheid over het harmonisch en meetkundig gemiddelde: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{ab}}$ . Volgens de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde is bovendien $\frac{2}{\sqrt{ab}} \geq \frac{4}{a+b}$ .
Pas dit nu toe op de drie termen van het linkerlid van de gevraagde ongelijkheid en het bewijs is klaar.

Geplaatst op 19 maart 2018 door admin

Neem n positieve getallen $x_1,x_2,\cdots,x_n$ . Dan definieren we:

Het rekenkundige gemiddelde: $RG = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ .
Het meetkundig gemiddelde: $MG = \sqrt[n]{x_1.x_2.\cdots.x_n}$ .
Het harmonisch gemiddelde: $HG = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$ .
Het r-de machtsgemiddelde: $P_r =\sqrt[r]{ \dfrac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n}}$ . Voor $r=2$ spreken we ook van het kwadratisch gemiddelde.