Opgave 10

Geplaatst op door

Bereken de vierkantswortel van x met

    \[x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5\]

Antwoord

  • x=10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+2.10^{n+1}+\cdots+2.10+5.
  • De termen met een factor 2 splitsen we op en we schrijven 5 als 1+1+3.
  • We vinden dan
    x=(10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+10^{n+1}+\cdots+10+1)+(10^{n+1}+\cdots+10+1)+3.
  • Gebruiken we nu de partiële som formule voor de termen van een meetkundige rij: x=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}+\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3
  • We brengen op gelijke noemer: x=\dfrac{10^{2n+2}+10.10^{n+1}+25}{9}=\Big(\dfrac{10^{n+1}+5}{3}\Big)^2.
  • Dan is \sqrt{x}=\dfrac{10^{n+1}+5}{3}.
  • Hieruit volgt dat  \sqrt{x} =\dfrac{1 \overbrace{0\cdots0}^{n+1}+5}{3}=\dfrac{ \overbrace{9\cdots9}^{n}0+15}{3}.
  • Uiteindelijk vinden we dat de vierkantswortel van x gelijk is aan

        \[\overbrace{3\cdots3}^n5\]