Bepaal het aantal oneven binomiaalgetallen in
.
Antwoord
- Een binomiaalgetal is van de vorm:
met
.
- We noteren de getallen n,r en s in het binair talstelsel:
met
en
- De exponent van 2 in n! is gelijk aan
. De exponent van 2 in r! is gelijk aan
. De exponent van 2 in s! is gelijk aan
.
Voor meer uitleg lees volgend artikel - Als het binomiaalgetal oneven moet zijn, dan mag
geen factor 2 meer bevatten en moet dus
.
- Bijgevolg is
oneven als
.
- Het aantal oneven binomiaalgetallen komt dus overeen met het aantal keuzes van r, tussen 0 to n , waarvoor
.
- Als
moet
. Er is dus
mogelijkheid
- Als
, dan heb je
mogelijkheden:
of
.
- Noteer
, dan zijn er dus
oneven binomiaalgetallen.
- Er zijn dus
oneven binomiaalgetallen in
, waarbij
gelijk is aan de som van de cijfers in de binaire schrijfwijze van
.
- Controleer met een voorbeeld : voor
heb je als binomiaalgetallen: 1,4,6,4,1. Er zijn dus 2 oneven binomiaalgetallen. Nu is 4 = 100 in het binair talstelsel en dus is
. Er zijn dus
oneven binomiaalgetallen.