We gaan op zoek naar regelmatige bedekkingen van het vlak: dit zijn bedekkingen met regelmatige n-hoeken met alle dezelfde lengte als zijde. Het vlak is dan de unie van al die veelhoeken en de doorsnede van twee veelhoeken is ledig, ofwel een punt ofwel een zijde. We eisen ook dat de hoekpunten gelijkwaardig zijn, dus dat in een punt steeds dezelfde veelhoeken in dezelfde aantallen en in dezelfde volgorde voorkomen. Noteren we met het aantal verschillende veelhoeken in een bepaald knooppunt.
De waarde van een hoek van een regelmatige n-hoek is
Neem eerst het geval . Noteer met m het aantal veelhoeken in een knooppunt. Dan moet
. Hieruit volgt dat
of
. Hierbij zijn uiteraard m en n natuurlijke getallen. De enige oplossingen zijn:
Neem nu ( we spreken dan van Archimedische vlakvullingen) en stel dat er a regelmatige m-hoeken en b regelmatige n-hoeken samenkomen, dan moet
of




Geval 1: en
, dan is
en zijn de enige natuurlijke oplossingen:
en
. De oplossing
hebben we al en
geeft geen regelmatige overdekking. De twee oplossingen geven we volgende typering:
( 1 driehoek en 2 twaalfhoeken) en
(1 vierkant en 2 achthoeken).
Geval 2: en
, dan is
en is de enige natuurlijke oplossing:
en die hebben we al gehad bij
.
Geval 3: en
, dan is
en zijn de enige natuurlijke oplossingen:
. Typering:
( een zeshoek en 4 driehoeken)
Geval 4:
en
, dan is
en zijn de enige natuurlijke oplossingen:
,
en
. De oplossing
hebben we al. Bovendien geven
en
dezelfde oplossing.Rest nog het geval
(2 zeshoeken en 2 driehoeken).
Geval 5: en
, dan is
en is de enige natuurlijke oplossing:
. Type
( twee vierkanten en drie driehoeken). We verfijnen de typering: links de overdekking
en rechts
.
Neem nu en stel dat er a regelmatige m-hoeken, b regelmatige n-hoeken en c regelmatige p-hoeken samenkomen, dan moet
of




Geval 1: . Dan is
. Onderzoek van verschillende mogelijkheden geeft
. Enkel
levert een nieuwe bestaande overdekking. We krijgen een zeshoek, een twaalfhoek en een vierkant in elk knooppunt.
Geval 2: . Enkel
levert een nieuwe bestaande overdekking. We krijgen twee vierkanten , een zeshoek en een driehoek in elk knooppunt.
Geval 3:
. Deze combinatie levert geen nieuwe oplossingen.
Geval 4: . Deze combinatie levert geen nieuwe oplossingen.
Situaties met of
kunnen niet voorkomen want
.