Gebruikmaken van de symmetrie

Geplaatst op door

Soms kan je, door gebruik te maken van de  symmetrie  in de tekening of de symmetrie van de gegevens, de opgave aanzienlijk vereenvoudigen.

Een voorbeeld: Los op in \mathbb{R}:

    \[(x+2013)(x+2014)(x+2020)(x+2021)=44\]

  • Dit is een vierdegraads vergelijking. Hiervoor kennen we geen algemene oplossingsmethode.
  • Dus: haakjes uitwerken en dan ofwel proberen te ontbinden in factoren ofwel de regel van Horner toepassen. Maar dit is niet aantrekkelijk want de getallen in de opgave zijn nogal groot.
  •  De getallen 2013,2014,2020 en 2021 liggen wel symmetrisch rond 2017!
  •  We vervangen x+2017 door een nieuwe variabele t. De opgave wordt nu:

        \[(t-4)(t-3)(t+3)(t+4)=44\]

    .

  • Dit kan je netjes uitrekenen tot:

        \[(t^2-16)(t^2-9)=44\]

  • Verder uitrekenen geeft: t^4-25t+100=0. Hieruit volgt dat t^2=20 of t^2=5.
  • De 4 oplossingen voor t zijn dan: \pm \sqrt{5} en \pm \sqrt{20}. En dus moet \newline x=-2017 \pm \sqrt{5} of x=-2017 \pm \sqrt{20}.