Nootje 46 – Wiskundemagie

Bereken

$(\frac{1+i\sqrt{7}}{2})^8+(\frac{1-i\sqrt{7}}{2})^8$

Antwoord

Een mogelijkheid is om het binomium van Newton te gebruiken. Gaan we niet doen…
Stel $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=a$ en $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=b$ .
Dan is $A=a^8+b^8$ .
Nu is het duidelijk dat $a+b=1$ en $ab=2$ .
We weten dat $a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4$ . Analoog is $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$ en evenzo is $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ .
De laatste betrekking leert ons dat $a^2+b^2=1^2-2*2=-3$ .
Dan is $a^4+b^4=(-3)^2-2*2^2=1$ .
Tenslotte is $A=1^2-2*2^4=-31$ .