Opgave 1: Driehoeksgetallen | Wiskunde is leuk

Hierboven zie je de eerste 5 driehoeksgetallen. Kan je nu de volgende vragen beantwoorden?

Als n een driehoeksgetal is, bewijs dan dan 8n+1 een volkomen kwadraat is.
( Plutarchus , 100 BC)
De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is altijd een volkomen kwadraat. Bewijs. ( Nicomachus, 100 BC)
Als n een driehoeksgetal is, bewijs dan dat 9n+1 en 25n+3 ook driehoeksgetallen zijn. ( Euler, 1775)

Antwoorden Vraag 1

Een driehoeksgetal is de som van opeenvolgende natuurlijke getallen, beginnend met 1. Dus het n-de driehoeksgetal $d_n$ wordt gegeven door $d_n=1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ . Maar dan is $8d_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$ . Bijgevolg is $8d_n+1$ een volkomen kwadraat.

Antwoorden Vraag 2

Gebruikmakend van vorige formule is $d_n+d_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=\dfrac{n^2+n+n^2+3n+2}{2}$ . Dus is $d_n+d_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2$ . De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is dus inderdaad een volkomen kwadraat.

Antwoorden Vraag 3

Stel $d_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ . Dan is $9d_n+1=\dfrac{9n(n+1)}{2}+1=\dfrac{9n^2+9n+2}{2}$ . Dus $9d_n+1=\dfrac{(3n+1)(3n+2)}{2}=d_{3n+1}$ . Analoog is $25d_n+3=d_{5n+2}$ .