Hierboven zie je de eerste 5 driehoeksgetallen. Kan je nu de volgende vragen beantwoorden?
- Als n een driehoeksgetal is, bewijs dan dan 8n+1 een volkomen kwadraat is.
( Plutarchus , 100 BC) - De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is altijd een volkomen kwadraat. Bewijs. ( Nicomachus, 100 BC)
- Als n een driehoeksgetal is, bewijs dan dat 9n+1 en 25n+3 ook driehoeksgetallen zijn. ( Euler, 1775)
Antwoorden Vraag 1
Een driehoeksgetal is de som van opeenvolgende natuurlijke getallen, beginnend met 1. Dus het n-de driehoeksgetal
wordt gegeven door
. Maar dan is
. Bijgevolg is
een volkomen kwadraat.
![Rendered by QuickLaTeX.com d_n](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-909f17cf80791ffbf40e8406e102cdd8_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com d_n=1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aac3571d42a30bf278132beb756d8b8f_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com 8d_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28753fdde902b060ea5de97c9f4ef032_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com 8d_n+1](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-920dc9662205ea547fd7f5c14db0f548_l3.png?media=1678572382)
Antwoorden Vraag 2
Gebruikmakend van vorige formule is
. Dus is
. De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is dus inderdaad een volkomen kwadraat.
![Rendered by QuickLaTeX.com d_n+d_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=\dfrac{n^2+n+n^2+3n+2}{2}](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2db3b0b9c6f45223649ac08613282595_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com d_n+d_{n+1}=n^2+2n+1=(n+1)^2](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe45985d0fd50b8e839cf514f5282472_l3.png?media=1678572382)
Antwoorden Vraag 3
Stel
. Dan is
. Dus
. Analoog is
.
![Rendered by QuickLaTeX.com d_n=\dfrac{n(n+1)}{2}](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-490408a9dfed3ad8a89a0bcd8079fc17_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com 9d_n+1=\dfrac{9n(n+1)}{2}+1=\dfrac{9n^2+9n+2}{2}](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9daccce3304f182eea44fff8f380dd3a_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com 9d_n+1=\dfrac{(3n+1)(3n+2)}{2}=d_{3n+1}](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8b4c3768e397bdf8383b44a285cf2883_l3.png?media=1678572382)
![Rendered by QuickLaTeX.com 25d_n+3=d_{5n+2}](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-67a3f40b5d8d85af05086e692e43cdcc_l3.png?media=1678572382)