Uit {1,2,…,n} worden 4 opeenvolgende even getallen verwijderd. De overgebleven getallen hebben een gemiddelde van 51+ 9/16. Bepaal alle viertallen opeenvolgende even getallen die hieraan voldoen.
Antwoord
- Stel die 4 opeenvolgende getallen voor door 2k, 2k+2, 2k+4 en 2k+6.
- De som van d eandere getallen is dan
.
- Het gemiddelde is dan
.
- Hieruit volgt dat
.
- 8 is een deler van het rechterlid en dus ook van het linkerlid. Bijgevolg bestaat er een geheel getal m waarvoor
. Ingevuld in vorige vergelijking vinden we dan dat
.
- 4 deelt het rechterlid en dus ook het linkerlid, dus bestaat er een geheel getal l zodat
. Invullen geeft dan
.
- Nu is
. Bijgevolg is
en dus ook
.
- Uit vorige twee punten volgt dan dat
of
![Rendered by QuickLaTeX.com \[256l^2-817l+3\leq 0\]](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ad8a384ac9132ab072ae5f9c520281cf_l3.png?media=1678572382)
- Enkel
voldoen en omdat
, zal uiteindelijk enkel
een oplossing geven voor k, namelijk
.
- De 4 gezochte getallen zijn dan 22, 24, 26 en 28.
Antwoord
- Stel die 4 opeenvolgende getallen voor door 2k, 2k+2, 2k+4 en 2k+6.
- De som van d eandere getallen is dan
.
- Het gemiddelde is dan
.
- Hieruit volgt dat
.
- 8 is een deler van het rechterlid en dus ook van het linkerlid. Bijgevolg bestaat er een geheel getal m waarvoor
. Ingevuld in vorige vergelijking vinden we dan dat
.
- 4 deelt het rechterlid en dus ook het linkerlid, dus bestaat er een geheel getal l zodat
. Invullen geeft dan
.
- Nu is
. Bijgevolg is
en dus ook
.
- Uit vorige twee punten volgt dan dat
of
- Enkel
voldoen en omdat
, zal uiteindelijk enkel
een oplossing geven voor k, namelijk
.
- De 4 gezochte getallen zijn dan 22, 24, 26 en 28.