Verdeel in verschillende gevallen

Soms kan het probleem  verdeeld worden in een aantal deelproblemen , die elk afzonderlijk kunnen behandeld worden. Dit gebeurt dikwijls als het probleem de al-kwantor bevat: voor alle x … Deze methode wordt ook wel het uitputtingsprincipe genoemd of de exhaustie methode.

Gegeven is een functie f:\mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{R}  met 

    \[\forall x,y \in \mathbb{Q}: f(x+y)=f(x)+f(y)\]

Bewijs dat \forall x\in \mathbb{Q}: f(x)=f(1).x.

  • We gaan het resultaat eerst bewijzen voor de positieve gehele getallen. De eigenschap klopt voor x = 1.
    Voor x = 2 hebben we f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2.f(1).
    Voor x = 3 is f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2.f(1)+f(1)=3.f(1).
    Het is duidelijk dat we dit proces kunnen verderzetten en dat voor elk positief geheel getal n geldt dat f(n)=n.f(1)
  • Nu controleren we de formule voor niet positieve gehelen. Eerst is er f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0). Hieruit volgt dat f(0)=0=0.f(1). Neem nu het negatief getal m, dan is er een positief geheel getal n met m=-n. Bijgevolg is 0=f(0)=f(n+(-n))=f(n)+f(-n).
    Hieruit volgt dat f(m)= f(-n)=-f(n)=-n.f(1)=m.f(1), waarmee het gestelde bewezen is.
  • Nu komen de omgekeerden van de gehele getallen (verschillend van 0) aan de beurt. Stel m=\dfrac{1}{n}, dan geldt:
    f(1)=f(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n})=n.f(\dfrac{1}{n}).
    Hieruit volgt dat f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{n}.f(1) of f(m)=m.f(1).
  • Tenslotte nemen we de rationale getallen onder de loep: x=\dfrac{m}{n}.
    Nu is f(\dfrac{m}{n})=f(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n})=m.f(\dfrac{1}{n}).
    Dus is f(\dfrac{m}{n})=m.f(\dfrac{1}{n})=\dfrac{m}{n}.f(1).
    Bijgevolg geldt voor elk rationaal getal x=\dfrac{m}{n} dat f(x)=x.f(1).