Oplossing door lineaire combinaties

Bekijk even het volgende probleem: gegeven zijn n verschillende reële getallen $m_1,\dots,m_n$ en $a_1,\cdots,a_n$ . Bepaal een veelterm P(x) zodat $P(m_i)=a_i$ voor $i:1...n$ .

Dit is eigenlijk een interpolatieprobleem, waarbij we een veeltermfunctie zoeken waarvan de grafiek door de n punten $(m_i,a_i)$ gaat. Natuurlijk kunnen we het stelsel van n vergelijkingen met n onbekenden gaan oplossen dat ontstaat door de n punten in te vullen in de algemene vorm van een veeltermfunctie van graad n-1.

Een andere techniek bestaat erin eerst speciale gevallen op te lossen, waarbij één van de $a_i$ ’s gelijk is aan 1 en de andere aan 0. Dit is niet zo lastig : definieer $P_i(x)$ als het product van alle factoren $x-m_j$ waarbij j verschilt van i. Neem vervolgens $v_i(x)=\frac{P_i(x)}{P_i(m_i)}$ . Dan geldt inderdaad dat $v_i(m_i)=1$ en $v_i(m_j)=0$ voor elke j verschillend van i.

De uiteindelijke oplossing van het beginprobleem ontstaat nu door de gepaste lineaire combinatie te nemen van de gevonden veeltermen $v_i(x)$ , namelijk:

$P(x)=a_1v_1(x)+\cdots+a_nv_n(x)$

Dit noemt men ook wel eens de Lagrange interpolatie formule.(naar de Franse wiskundige Joseph-louis Lagrange( 1736-1813))

Een voorbeeld: f(x) is een veelterm van graad maximaal n waarvoor geldt dat $f(k)=\frac{n+1-k}{k+1}$ voor $k=0,1,...,n$ . Zoek f(n+1).

Spoiler

We zoeken dus een veeltermfunctie waarvan de grafiek gaat door de punten $(0,\frac{n+1}{1}),(0,\frac{n}{2}),...,(0,\frac{1}{n+1})$
Definieer $v_k(x)=x(x-1).....(x-n)$ waarbij de factor x-k weggelaten is.
Nu is $v_k(n+1)=\frac{(n+1)!}{n+1-k}$ . Verder is ook $v_k(k)=(-1)^{n-k}.k!.(n-k)!$ .
Gebruikmakend van de Lagrange interpolatie formule vinden we :
$f(n+1)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}$
Dit kunnen we herschrijven als
$f(n+1)=\sum_{l=1}^{n+1}(-1)^{n-l+1}\frac{(n+1)!}{l!(n+1-l)!}$
Via de uitwerking van het binomium van Newton voor $(1-1)^{n+1}$ vinden we tenslotte
$f(n+1)=(-1)^n$