Nootje 18

Geplaatst op door

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Antwoord

 

  • Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden  van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
  • Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ.
  • Hieruit volgt dat A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x.
  • Kwadrateren geeft :  A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab).
  • Volgens Pythagoras is a^2+b^2= c^2, met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus c=2y.
  • Verder is ab gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus ab=2A.
  • Ingevuld : A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A).
  • Vereenvoudigd: A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A.
  • Hieruit kan je A oplossen:

        \[A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}\]