Nootje 24

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

 

 

  • Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
  • We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
  • Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
  • Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
  • Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
  • De driehoek ZOI heeft als basis |ZI|=2 en als hoogte h=9-6=3. De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

 

Nootje 18

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Antwoord

 

  • Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden  van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
  • Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ.
  • Hieruit volgt dat A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x.
  • Kwadrateren geeft :  A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab).
  • Volgens Pythagoras is a^2+b^2= c^2, met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus c=2y.
  • Verder is ab gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus ab=2A.
  • Ingevuld : A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A).
  • Vereenvoudigd: A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A.
  • Hieruit kan je A oplossen:

        \[A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}\]

 

De formule van Heroon en gelijkaardige formules.

Misschien kennen jullie de formule van Heroon om de oppervlakte te berekenen van een driehoek in functie van de zijden van de driehoek? Maar kan je deze formule ook uitbreiden naar een formule om de oppervlakte te berekenen van een driehoek in functie van de drie zwaartelijnen of de drie hoogtelijnen? Lees hier de oplossing.
heroon