Wiskunde is leuk

Opgave 38

Geplaatst op 2 september 2023 door admin

Antwoord

Bekijken we het probleem wat algemener en gebruiken we de eigenschap dat de raaklijnen vanuit een punt aan een cirkel evenleng zijn.
Noteren we de straal van de ingeschreven cirkel met x .
We passen nu de stelling van Pythagoras toe: $5^ 2=(x+2)^2+(x+3)^2$ .
Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossing 1 en $-6$ . Bijgevolg is $x=1$ .
De gevraagde oppervlakte is dan $\frac{1}{2}(2+1)(3+1)=6$ .

Nootje 39

Geplaatst op 20 juni 2023 door admin

Antwoord

AH is de loodlijn uit A op BC. In een gelijkbenige driehoek verdeelt die de zijde BC in twee gelijke delen: dus elk van lengte $\frac{18+2}{2}=10$ .
We passen nu Pythagoras toe in driehoek ABH: $x^2=100+|AH|^2$ .
Hetzelfde in driehoek AHM: $100=64+|AH|^2$ . Hieruit volgt dat $|AH|=6$ .
Invullen in vorige formule geeft $x^2=136$ of $x=2\sqrt{34}$ .

Nootje 37

Geplaatst op 11 juni 2023 door admin

Antwoord

Vermoedelijk een toepassing op de stelling van Pythagoras….
Men kan gemakkelijk bewijzen dat
$|PD|^2+|PB|^2=|PA|^2+|PC|^2$
Dit resultaat wordt weleens de stelling van de Britse vlag genoemd, naar de vergelijking met de Union Jack
Voor ons probleem is dus $x^2+4=36+49$ , dus is $x=9$ .

Sangaku 11

Geplaatst op 29 december 2022 door admin

Antwoord

De bedoeling is de oppervlakte van het vierkant te bepalen.
De horizontale rechthoekzijde van de rode driehoek is gelijk aan $\sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}$ . De andere rechthoekszijde meet $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ en is dus dubbel zo groot als de horizontale rechthoekzijde.
De zwarte driehoek is gelijkvormig met de rode en omdat de verticale rechthoekzijde gelijk is aan $\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{27}=6\sqrt{3}$ , moet de horizontale rechthoekzijde gelijk zijn aan de helft ervan , dus $3\sqrt{3}$ .
Volgens de stelling van Pythagoras is het kwadraat van de zijde van het vierkant dan gelijk aan $(6\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=135$
De gevraagde oppervlakte is dus 135.

Nootje 30

Geplaatst op 4 november 2022 door admin

Bereken $|AB|$ :

“Antwoord”

Construeer vanuit het middelpunt van de kleine cirkel een loodlijn op de straal uit A in de grote cirkel. AB staat , als gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels, loodrecht op de stralen in A en B.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dan: $|AB|=x=\sqrt{(28+18)^2-10^2}=12\sqrt{14}$ .