Tagarchief: Pythagoras

Sangaku 9

Geplaatst op door

Spoiler

We zoeken de verhouding tussen de rode en blauwe oppervlakte.

  • Noem de straal van de rode cirkels r en die van de blauwe cirkel r’.
  • De schuine zijde van de getekende rechthoekige driehoek kan je berekenen via de stelling van Pythagoras: \sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r.
  • Maar dan is 2r+2r'=2\sqrt{2}r. Of r'=r(\sqrt{2}-1).
  • De gezochte verhouding is dan \frac{3\pi r^2}{\pi r^2(\sqrt{2}-1)^2}=9+6\sqrt{2}.

 

 

 

Sangaku 7

Geplaatst op door

Antwoord

  • De opdracht is de oppervlakte van de groene driehoek te zoeken.
  • Verdeel het onderste zijde van het vierkant in 2 stukken, van links naar rechts: x en 8 – x
  • Door 2 maal gebruik te maken van de eigenschap dat de raaklijn stukken getrokken vanuit een punt buiten de cirkel aan die cirkel even lang zijn, weten we dat de schuine zijde van de groene driehoek gelijk is aan x + 8.
  • De groene driehoek is rechthoekig en dus kunnen we Pythagoras toepassen :

        \[(x+8)^2=8^2+(x-8)^2\]

  • Hieruit volgt dat x = 2.
  • De oppervlakte van de groene driehoek is dan 24 oppervlakte eenheden.

 

 

 

Vierkantswortels

Geplaatst op door

Vierkantswortels zijn al eeuwenlang bekend. De Rhindpapyrus verwijst al in 1650 v.Chr. naar vierkantswortels, maar dat is niet zo vreemd, want wortels houden verband met oppervlaktes en diagonalen van vierkanten en rechthoeken.

\sqrt{2} was nogal wat voor de Pythagoreeëers. De ontdekking dat de wortel van 2 irrationaal was, zat hen echt dwars. De idee dat een getal niet kon worden uitgedrukt als een breuk was ondenkbaar. Het was Hippasus van Metaponte die dit bewijs leverde en het verhaal gaat dat hij zijn ontdekking op zee deed, waarna hij overboord werd gegooid!Archimedes maakte een zeer nauwkeurige schatting van de wortel uit 3 :

    \[\frac{265}{153}<\sqrt{3}<\frac{1351}{780}\]

of uitgedrukt in decimalen: 1,7320261<\sqrt{3}<1,7320512.  Let op dat dit tweede getal slechts 0,0000004 afwijkt , wat erg nauwkeurig is gezien Archimedes geen rekentoestel had en niet werkte in het tientallig stelsel. Sommige bronnen beweren dat hij de Babylonische methode volgde.

Deze methode, ook Herons methode genoemd, is een fraaie iteratieve formule. Bij \sqrt{S} , nemen we eerst een ruwe schatting en noemen die x_0. Verder geldt:

    \[x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{S}{x_n}\Big)\]

Op het rekentoestel vinden we voor de wortel uit 3 de waarde 1,732050808. Als eerste schatting nemen we x_0=2. dan is x_1=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=1,75. We hebben al twee cijfers juist. Een betere benadering is x_2=\frac{1}{2}(1,75+\frac{3}{1,75})=1,7321. Nu hebben we de eerste 4 cijfers van \sqrt{3} en als we willen, kunnen we hiermee doorgaan om steeds een nauwkeurigere schatting te krijgen van de wortel uit 3.