De spiraal van Theodorus

Geplaatst op 19 maart 2025 door admin

De spiraal van Theodorus wordt opgebouwd uit een reeks rechthoekige driehoeken. Het begint met een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de beide rechthoekszijden lengte 1 hebben. Vervolgens wordt een nieuwe rechthoekige driehoek toegevoegd, waarbij één rechthoekszijde de vorige schuine zijde is en de andere rechthoekszijde terug lengte 1 heeft. Dit proces wordt herhaald. De figuur die zo ontstaat noemt men de spiraal van Theodorus, genoemd naar de Griekse wiskundige Theodorus van Cyrene die leefde in de 5de eeuw voor Christus.

Hij hield op bij de driehoek met hypotenusa $\sqrt{17}$ , vermoedelijk omdat dat de laatste is die niet een vorige driehoek overlapt.

Het is duidelijk dat via de stellig van Pythagoras de lengten van de schuine zijden van deze driehoeken de vierkantswortels zijn van opeenvolgende natuurlijke getallen. Vandaar dat men deze spiraal ook wel eens wortelspiraal noemt.

Nootje 50

Geplaatst op 24 september 2024 door admin

Antwoord

Twee maal de stelling van Pythagoras toepassen geeft: $x^2=4a^2+b^2$ en $y^2=4b^2+a^2$ .
We tellen deze vergelijkingen op : $x^2+y^2=5(a^2+b^2)$ .
Omdat nu $x^2+y^2=5$ ,volgt hieruit dat $a^2b^2=1$ .
Pas nogmaals Pythagoras toe in de driehoek ABC en dan vinden we dat $|AB|^2=9a^2+9b^2=9$ .
Bijgevolg is
$|AB|=3$

Nootje 47

Geplaatst op 6 mei 2024 door admin

Antwoord

In de rechthoekige driehoek CHD geldt: $|CD|=3.5$ en $|HD|=6-1.5-2=2.5$ .
Gebruik de stelling van Pythagoras : $|CH|=\sqrt{3.5^2-2.5^2}=\sqrt{6}$
In de rechthoekige driehoek FDE geldt: $|FD|=1$ en $|DE|=5$ .
Opnieuw Pythagoras toepassen geeft $|FE|=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ .
Nu is $|AB|=|CH|+|FE|=3\sqrt{6}$

Nootje 41

Geplaatst op 28 september 2023 door admin

Gegeven zijn twee cirkels met stralen 4 en 11. De afstand tussen hun middelpunten is 25. Bepaal de som van de lengtes van een inwendig en een uitwendig gemeenschappelijke raaklijn.

Antwoord

Verbind de middelpunten van de cirkels met de raakpunten A en A’ en teken door A’ een evenwijdige met de rechte die de middelpunten van de twee cirkels (de centraal) verbindt.
De onderste driehoek is rechthoekig. De schuine zijde meet 25 en één van de rechthoekszijden is 11-4=7. Dus is, volgens Pythagoras y=24.
Noteer met S het snijpunt van de centraal met TT’.
De driehoeken OTS en MT’S zijn gelijkvormige rechthoekige driehoeken. Dus $\frac{25-a}{11}=\frac{a}{4}$ . Bijgevolg is $a=\frac{20}{3}$ .
Dan is $x=|TS|+|T'S|=\sqrt{a^2-4^2}+\sqrt{(25-a)^2-11^2}=20$ .
Tenslotte is de gevraagde som gelijk aan x+y=44.

Opgave 38

Geplaatst op 2 september 2023 door admin

Antwoord

Bekijken we het probleem wat algemener en gebruiken we de eigenschap dat de raaklijnen vanuit een punt aan een cirkel evenleng zijn.
Noteren we de straal van de ingeschreven cirkel met x .
We passen nu de stelling van Pythagoras toe: $5^ 2=(x+2)^2+(x+3)^2$ .
Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossing 1 en $-6$ . Bijgevolg is $x=1$ .
De gevraagde oppervlakte is dan $\frac{1}{2}(2+1)(3+1)=6$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: Pythagoras

De spiraal van Theodorus

Nootje 50

Nootje 47

Nootje 41

Opgave 38