Cissoïde van Diocles

Gegeven zijn een kromme K_1 en K_2 en een punt O. Door O trekt men een rechte die K_1 snijdt in P_1 en K_2 in P_2. Op die rechte bepaalt men een punt P zodat |OP|=|OP_1|-|OP_2|. Wanneer men de rechte nu laat draaien rond O, is de meetkundige plaats van de punten P een cissoïde(afkomstige uit het Grieks: kimos = klimop).

De cissoïde van Diocles verkrijgt men als K_1 een rechte is die raakt in een punt A aan een cirkel (K_2). Voor O neem je het punt op de cirkel diametraal tegenover A.

 

 

Neem O als oorsprong van het assenstelsel en de rechte OA als X-as. Veronderstel dat de straal van de cirkel gelijk is aan a. De cirkel heeft als vergelijking (x-a)^2+y^2=a^2 en de raaklijn heeft als vergelijking x=2a. Een willekeurige rechte door O kunnen we voorstellen door y=\lambda x. Dan is P_1(2a,2a\lambda) en P_2(\dfrac{2a}{1+\lambda^2},\dfrac{2a\lambda}{1+\lambda^2}). Om de meetkundige plaats te vinden van de punten P, als de rechte rond O draait, moeten we \lambda elimineren  uit y=\lambda x en uit x=2a-\dfrac{2a}{1+\lambda^2}. Deze laatste voorwaarde bekomen we door de voorwaarde |OP|=|P_1P_2| te projecteren op de X-as. Als resultaat krijgen we

    \[x(x^2+y^2)=2ay^2\]

In Geogebra: