Categorie archieven: Weetjes

Kettingwortels

Geplaatst op door

Een uitdrukking zoals

    \[x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}\]

wordt een oneindige kettingwortel genoemd.

Als we beide leden kwadrateren komt er: 

    \[x^2=a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}\]

of nóg x^2=a+x. De positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking is x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4a}). 

Stel hierin bijvoorbeeld a=1, dan bekomen we:

    \[\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}\]

In het bijzonder ontstaat er een natuurlijk getal indien 1+4a een volkomen kwadraat is. Een paar voorbeelden: 

2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}

3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}

4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}

 

Julia fractaal

Geplaatst op door

Neem de functie f(x)=x^2+c en neem een willekeurige startwaarde x_1. Bereken de functiewaarde van x_0 en noem die x_1. Bereken vervolgens de functiewaarde van x_1 en noem die x_2. We verkrijgen zo een rij getallen

    \[x_{n+1}=f(x_n)\]

Gaston Julia ( 1893-1978) publiceerde in 1919 zijn boek Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles waarin hij het iteratief gedrag van deze functie(s) onderzocht.

We bestuderen nu

de relatie z_{n+1}=f(z_n) in het complexe vlak. Als de rij z_0,z_1,z_2,... begrensd is, dan gaan we de startwaarde z_0 plotten. De verzameling punten in het complexe vlak waarvoor de rij begrensd is noemen we de Julia verzameling horend bij c.

Er zijn op basis hiervan twee verzamelingen te construeren: de verzameling van de punten z0 waarvoor het iteratieve proces begrensd is (de Julia-set bij C) en  de verzameling van de punten z0 waarvoor de verzameling niet-begrensd is. De rand van het “begrensdheidsgebied” wordt een “fractaal” genoemd, de Julia-fractaal bij c.

Dit levert zeer mooie figuren :

Of de san Marco fractaal en het dendriet…

 

Wiskunde onderzoek

Geplaatst op door

 

Bij wiskundig onderzoek start men met een open probleem en men probeert een oplossing hiervoor  te vinden. Het zoeken op zich naar een oplossing doet de wiskunde groeien en schept frisse ideeën waarin strategieën worden ontwikkeld om die open problemen aan te pakken. Vaak is het dan zo gelopen in de geschiedenis dat de ontstane theorie toepassingen biedt die veel uitgebreider zijn dan men aanvankelijk kon vermoeden, of zoals d’Alembert ooit zei:

Soms heeft de onderzoeker in de aanvangsfase zelf geen besef van de draagwijdte van zijn vondst. Het is een beetje te vergelijken met een uitspraak van professor Adhemar uit de strips van Nero: 

Ik voel dat ik weer iets prachtigs heb uitgevonden, maar ik weet nog niet waarvoor het dient.

Als de theorie die ontwikkeld werd door de onderzoeker geen noemenswaardige toepassingen blijkt te hebben, zal deze theorie een natuurlijke dood van vergetelheid sterven. Maar als het om een goed stuk wiskunde gaat, zal het de uitvinder overleven en geïntegreerd worden in de totale wiskundekennis van dat moment. Het zal zich zelfstandig ontwikkelen, los van de problemen waaruit het is ontstaan en waarschijnlijk nieuwe interessante problemen oproepen, die  weer onderzocht kunnen worden en zo is de cirkel rond.

Een typisch voorbeeld is de grafentheorie, die voortkwam uit het probleem om een route te vinden om over alle bruggen te wandelen in Königsburg, waarbij elke brug precies 1 maal gebruikt zou worden en waarbij men terugkeert naar het startpunt.

Veralgemening van de driehoek van Pascal

Geplaatst op door

In deze driehoek wordt elk element verkregen door de som te nemen van 3 elementen, namelijk het element erboven en de 2 elementen links daarvan. Zo is bijvoorbeeld het element 45 op de 6de rij gelijk aan de som 19 + 16 + 10. Als er op die plaatsen niets staat, wordt er 0 genomen.

De driehoek van Pascal is verbonden met het binomium van Newton. Deze veralgemeende versie van de driehoek van Pascal is verbonden met:

Zo kan je tevens gemakkelijk bewijzen dat de rijsom in deze veralgemeende versie steeds een macht van 3 is.  De rijsommen zijn inderdaad 1,3,9,27,81…

Dit is gemakkelijk te verklaren als je in bovenstaande formules a vervangt door 1.

De parabool van Neile

Geplaatst op door

In 1657 berekende de Britse wiskundige William Neile (1637-1670), als eerste de booglengte van een algebraïsche kromme:

    \[a^2x^3=y^2\]

Daarvoor kon men al wel de booglengte bepalen van transcendente krommen zoals de cycloïde en de logaritmische spiraal.

Deze kromme wordt de semikubische parabool , of parabool van Neile, genoemd, wat gemakkelijker te begrijpen valt als we deze herschrijven als y=\pm ax^{1,5}

Een parametervergelijking wordt gegeven door x(t)=t^2 en y(t)=at^3. De semikubische parabool ontstaat als evolute van de parabool. Een evolute is de meetkundige plaats van alle krommingsmiddelpunten (middelpunt van de cirkel die in het gegeven punt de kromme ‘kust’) van de gegeven parabool.