De Möbius band

 

Laten we het eens hebben over deze ‘rare’ figuur.

Neem  een rechthoekige strook papier:

Door de uiteinden aan een te plakken ( uiteinde A aan uiteinde A) krijgen we een cilinder:

Deze cilinder heeft twee randen: een bovenrand en een onderrand en verder een binnen oppervlak en een buiten oppervlak. Deze worden als aparte objecten bekeken ( zie stippellijn en volle lijn). Van de binnenzijde kom je naar de buitenzijde via een rand.

Je kan de strook echter ook op een andere manier aan elkaar lijmen ( uiteinde A aan uiteinde B):

Er is nu geen boven of onderkant. Deze figuur heeft maar 1 kant en 1 zijde. We noemen deze figuur de Möbiusband naar de Duitse wiskundige August Möbius(1790-1868).

Het bestuderen van dergelijke figuren maakt deel uit van de topologie, een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen  die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). Anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte is samengesteld, zoals samenhang en oriëntatie.

 

Stemparadox

In het zicht van de volgende verkiezingen, even wat uitleg over de stemparadox. De paradox duidt een situatie aan bij een stemming waarbij er geen manier bestaat om met de individuele voorkeuren een collectieve uitkomst te bepalen. Veronderstel de volgende voorkeuren bij 3 kiezers (I,II en III):

 1ste keus 2de keus  3de keus
I Bart Meyrem Wouter
II Wouter Bart Meyrem
III Meyrem Wouter Bart

Stel dat onze drie kiezers eerst moeten kiezen tussen Bart en Meyrem. Dan wint Bart door de stem van kiezers I en II. Maar als het vervolgens in de tweede ronde tussen Bart en Wouter gaat, dan wint Wouter door de stem van kiezers II en III. Nochtans haalt Meyrem het duidelijk van Wouter dankzij kiezers I en III… Ook voor de andere combinaties beland je in een lus. Nochtans heeft elk van de drie kiezers een duidelijke en consistente voorkeur. De stemparadox illustreert daarmee de relativiteit van sommige democratische beslissingen.

Deze paradox wordt ook wel de paradox van Condorcet genoemd en werd door de markies Nicolas de Condorcet(1743-1794)  geformuleerd aan het einde van de 18de eeuw.

Diabolo

Een diabolo is een voorwerp waarmee men allerlei trucs kan uitvoeren. Het bestaat uit twee  komvormige delen die met hun bodem aan elkaar zijn verbonden. Dit verbindingsstuk is het steunpunt voor de diabolo. Bij een diabolo horen twee stokjes bij die met een touw zijn verbonden. Hiermee kan de diabolo aan het tollen worden gebracht, zodat hij in balans blijft, en in de lucht kan worden gegooid en opgevangen. Het jongleren met een diabolo is afkomstig uit China.

Hoe kan je nu dergelijke figuur wiskundig genereren? Neem de impliciete vergelijking in de onbekenden x,y en z:

    \[x^2=(y^2+z^2)^2\]

Het is duidelijk dat dit oppervlak de unie is van twee omwentelingsparaboloïden: x=\pm (y^2+z^2) die elkaar raken in de oorsprong. Het raakvlak is het verticale vlak x=0.

Bovenstaande tekening is gemaakt met het programma Surfer.

Hexomino’s

In 1953 introduceerde Solomon W. Golomb, toen student aan de Harvard Universiteit, de term polyomino voor figuren die gevormd worden door eenheidsvierkanten samen te voegen. Omdat een domino bestaat uit twee aaneengesloten vierkanten, stelde Golomb voor figuren met drie vierkanten tromino’s te noemen. Die met vier vierkanten tetromino’s. En verder pentomino’s, hexomino’s, heptomino’s enz.

Hoeveel hexomino’s zijn er nu en hoeveel ervan kan je tot een kubus bouwen? Figuren die door een draaiing of een spiegeling op elkaar kunnen afgebeeld worden, beschouwen we als identiek.

  • De eenheidsvierkanten kunnen op verschillende manieren aaneengesmeed worden. Er is één monomino en één domino.
  • Om het aantal tromino’s (ook wel triomino’s genoemd) te bepalen, zoeken we uit hoe we van een domino een tromino kunnen maken. Je kan er rechts 1 toevoegen of er eentje bovenop zetten: er zijn dus 2 tromino’s
  • Bij de eerste tromino kan je nu een vierkantje bijvoegen rechts, links boven of midden boven. Bij de tweede tromino kan je dat rechts of links van het bovenste vierkantje doen. Zo bekom je 5  tetromino’s ( ook quatromino’s genoemd). Deze figuren kom je tegen bij het spel Tetris.
  • Van de blauwe tetromino kan je 3 pentomino’s ( of quintomino’s) maken. Van de oranje kan je dat op 7 manieren doen. Voor de paarse en de groen elk op 1 manier . Je vindt dus 12 pentomino’s.
  • Vertrekkend van de pentomino’s ( eerst de bovenste rij van links naar rechts) kan je dan 6 + 4 +11 + 9 + 6 + 9  + 9 + 10 + 5 + 2 +  10 + 5 = 86 figuren maken. Maar sommige zijn hetzelfde, ze kunnen door een rotatie of spiegeling op elkaar worden afgebeeld. er blijven uiteindelijk 35 hexomino’s over :
  • Slechts 11 daarvan kunnen een kubus vormen: