Hoe lang zal de wereld bestaan?

In de grote tempel van Benares, onder de koepel die het centrum van de wereld aangeeft, staat een grote bronzen plaat, waarin drie diaman­ten naalden zijn bevestigd, elk ter lengte van een onderarm en zo dik als het lichaam van een bij.
Op één van deze naalden plaatste God bij de Schepping vierenzestig schijven van zuiver goud. De grootste rustte op de bronzen plaat, de volgende werden naar boven toe steeds kleiner. Dit is de toren van Brahma.

Dag en nacht, zonder onderbreking, verplaatsen de priesters de schijven van de ene naald naar de andere, overeenkomstig de vaste en onveranderlijke wetten van Brahma, volgens welke de dienstdoende priesters niet meer dan één schijf tegelijk mogen bewegen en geen schijf geplaatst mag worden op een naald die al een kleinere schijf bevat. Als de vierenzestig schijven van de naald waarop God ze bij de Schepping plaatste, overgebracht zullen zijn naar één van de andere, dan zullen de torens en de tempel en de priesters tegelijk tot stof vervallen en met een donderslag zal de wereld vergaan.”

Hoe lang moeten de priesters werken, als ze zonder ooit een fout te maken elke seconde één schijf overbrengen?

Je kan dit proces heel gemakkelijk recursief beschrijven:  Met n schijven: los het probleem op door de bovenste n-1 schijven naar pin B te brengen, met pin C als hulppin. Vervolgens wordt -n-de schijf naar pin C gebracht. Tot slot worden de eerste n-1   schijven van pin B naar pin C gebracht, met pin A als hulppin. Als we met u_n het aantal zetten noteren om n schijven van één pin naar een andere te zetten , dan geldt:

    \[u_n=2u_{n-1}+1\]

We kunnen dit omzetten naar het expliciet voorschrift u_n=2^n-1. De wereld zal dus 2^{64}-1 jaren bestaan, dat is zo ongeveer duizend miljard jaar. Als het verhaal klopt natuurlijk….

Als spel werd dit onder de naam Torens van Hanoi op de markt gebracht in 1863 door Edouard Lucas, onder de schuilnaam prof Claus.

Stelling van Zeckendorf

De stelling van Zeckendorf  is vernoemd naar de Belgische dokter, legerofficier en wiskundige Edouard Zeckendorf.

De stelling zegt dat elk positief geheel getal op een unieke manier kan geschreven worden als de som van één of meer verschillende  getallen uit de rij van Fibonacci die elkaar niet opvolgen. Een dergelijke som wordt de Zeckendorfrepresentatie van een getal genoemd. De Zeckendorfrepresentatie van het getal 100 is 89+8+3.

Start met het grootste getal a_1 uit de rij van Fibonacci dat kleiner is of gelijk aan het getal n. Zoek daarna het grootste getal a_2 uit de rij van Fibonacci dat kleiner is of gelijk aan het verschil  n-a_1. Blijf dit proces herhalen totdat het verschil uiteindelijk zelf een getal is uit de rij van Fibonacci. Nu zijn a_1 en a_2 geen opeenvolgende termen van de rij van Fibonacci, want waren ze dat wel dan zou a_1+a_2 een term van de rij van Fibonacci zijn en groter zijn dan n. Dit is onmogelijk want a_1+a_2<n.

We geven ook een Python programma mee om de Zeckendorf representatie te berekenen. In het voorbeeld berekenen we deze van 2021:

Het monster

In 1981 construeerde de Amerikaanse wiskundige Robert Griess( 1945-) het Monster: de grootste en een van de meest mysterieuze van de zogenaamde sporadische groepen.

Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als product van priemfactoren. Bij groepen heeft men hetzelfde proberen te doen: ‘enkelvoudige’ groepen vinden zodat dat elke groep te schrijven is als product van enkelvoudige groepen. Er bestaan 18 families van dergelijke enkelvoudige groepen elk met aftelbaar  oneindig veel elementen. De verzameling van de cyclische groepen met priem orde is één van die families. Buiten die 18 families zijn er nog enkele enkelvoudige groepen die niet thuis horen in die families. Deze opzichzelfstaande groepen worden sporadische groepen genoemd. Daarvan zijn er 26.

De monster groep is de grootste en telt

    \[2^{46}.3^{20}.5^9.7^6.11^2.13^2.17.19.23.29.31.41.47.59.71\]

elementen. Je deze groep  voorstellen als een sneeuwvlok met meer dan 10^{53} symmetrieën.

De structuur van de monster groep suggereert nauwe verbanden tussen symmetrie en natuurkunde en kan zelfs verband houden met de snaartheorie.

In 1973 kondigden Griess en Bernd Fischer (1956-) het bestaan van het monster aan. Het kreeg zijn naam van John Conway en het was de Britse wiskundige Richard Borcherds (1959-), die voor zijn werk aan het begrijpen van het Monster, uiteindelijk een Fields-medaille kreeg.

Principe van Cavalieri

Bonavatura Cavalieri ( 1598 – 1647) was een Italiaanse wiskundige. Hij is bij ons vooral gekend om het volgende principe: 

Twee objecten met dezelfde hoogte en met, op elke niveau , een dwarsdoorsnede met dezelfde oppervlakte, hebben een gelijk volume.

Zo kan men bijvoorbeeld  de inhoud van een bol bepalen:

Links zie je een halve bol met straal r en rechts een cilinder met straal r en hoogte r, waaruit een kegel gehaald is. De dwarsdoorsnede op een hoogte x boven het vlak P voor de linkse figuur  is een schijf met straal \sqrt{r^2-x^2}. De oppervlakte is dus \pi(r^2-x^2). De dwarsdoorsnede van de rechtse figuur is een ring begrensd door  twee cirkels met stralen r en x. De oppervlakte is \pi r^2-\pi x^2. Volgens het principe van Cavalieri hebben beide figuren dus hetzelfde volume. De inhoud van een halve bol is dus \pi r^2.r -\frac{1}{3} \pi r^2.r=\frac{2}{3}\pi r^3 en dus is de inhoud van een  bol gelijk aan \frac{4}{3}\pi r^3.

Het principe kan ook toegepast worden op de oppervlakte van vlakke figuren te berekenen. Zo is  de oppervlakte van een rechthoek met breedte b en hoogte h gelijk is aan die van een parallellogram met basis b en hoogte h, want elke dwarsdoorsnede heeft dezelfde lengte bij rechthoek en parallellogram.

Topologie

Topologie is een veralgemening van de meetkunde. Het woord is afgeleid   van het Grieks topos(plaats) en logos (studie). Het is een onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met eigenschappen in de n-dimensionele ruimte , die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De term ‘topologie’ werd geïntroduceerd in 1847 door de Duitse wiskundige John Benedict Listing ( 1808-1892) in zijn werk Vorstudien zur Topologie . Listing was een leerling van Carl Friedrich Gauss.

In de beginperiode noemde men ‘ deze wiskunde’ : analysis situs, analyse van de positie. Rubbermeetkunde is een betere omschrijving van wat topologie eigenlijk betekent .

In topologie beschouwt men twee objecten als hetzelfde (homeomorf) als de ene continu vervormd kan worden tot de andere: uitrekken zonder  echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken.

In de praktijk zijn continue vervormingen echter moeilijk te beschrijven. Er bestaat een andere methode om te zien wanneer twee objecten niet-homeomorf zijn. Hierbij maakt men gebruik van de Euler karakteristiek of de Poincaré-Euler karakteristiek: een geheel getal dat de  essentie van de vorm van een topologische ruimte weergeeft. 

De Eulerkarakteristiek wordt genoteerd door \chi. Noteer met h het aantal hoekpunten, met r het aantal ribben en met v het aantal zijvlakken van een figuur.

  • Voor figuren zoals de cirkel is \chi= h-r.
  • Voor figuren zoals een bol is \chi=h-r+v.

Voor een kubus ( en elk ander Platonisch veelvlak ) is \chi=2, want een kubus heeft 8 hoekpunten, 12 ribben en 6 zijvlakken: 8-12+6=2.

Voor de drievoudige torus kan men aantonen dat \chi=-4.

 

Het berekenen van de Euler karakteristiek gebeurt via triangulatie, waarop we hier niet verder ingaan. Belangrijk is om te weten dat, als figuren homeomorf zijn, hun Euler karakteristieken dezelfde zijn of door contra positie: als de Euler getallen verschillend zijn , dan zijn de figuren niet homeomorf.