Pi met wortels

Hoe kan je pi benaderen door middel van wortels? Bekijk volgende  mogelijkheid: de oppervlakte van een cirkel met straal 1 benaderen we door het gemiddelde te nemen van de oppervlaktes van een ingeschreven regelmatige achthoek en een omgeschreven regelmatige zeshoek.

  • Neem een omgeschreven zeshoek :
    om de oppervlakte te berekenen nemen we zes keer de oppervlakte van OAB. De hoogte OM van die driehoek is 1. De basis AB is 2*\tan 30^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}. Bijgevolg is de oppervlakte van de zeshoek gelijk aan 2\sqrt{3}.
  • Neem vervolgens een ingeschreven regelmatige achthoek:
    de oppervlakte is gelijk aan acht keer de oppervlakte van driehoek OAB. De oppervlakte van die driehoek is gelijk aan \frac{1}{2}*1*1*\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}, zodat de oppervlakte van de achthoek gelijk is aan 2\sqrt{2}.
  • Het gemiddelde van die twee oppervlaktes is dan \sqrt{2}+\sqrt{3}.
  • Aldus is \pi \approx \sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3.14626436994

Het 3n+1 vermoeden

Neem een natuurlijk getal n. Als het even is, deel het door 2. Als het oneven is, vermenigvuldig je het met 3 en tel er 1 bij op. Met de uitkomst doe je hetzelfde, en dat blijf je maar herhalen.

Neem bijvoorbeeld 6, dan ontstaat volgende rij : 6,3,10,5,16,8,4,2,1. We noemen dit de Collatz rij van 6. De lengte van deze Collatz rij is 9. De lengte van dergelijke rij kan snel oplopen. Zo is de lengte van de  Collatz rij van 27 gelijk aan 111.

Het 3n + 1-vermoeden zegt dat bovengenoemd iteratieproces bij iedere mogelijke startwaarde altijd een keer bij 1 zal uitkomen. De precieze oorsprong van het 3n + 1- vermoeden is niet helemaal duidelijk. In de jaren dertig was Lothar Collatz( 1910-1990), een Duitse wiskundige, met soortgelijke problemen bezig, en het 3n + 1-probleem wordt algemeen aan hem toegeschreven. Het is tot op heden nog steeds niet bewezen.

Er zijn enkele aanwijzingen dat het vermoeden van Collatz juist is. Voor alle getallen onder 10^{19}   is inmiddels gecontroleerd dat ze aan het vermoeden voldoen. Het probleem met het controleren is dat het alleen het vermoeden kan weerleggen. Als het vermoeden waar is, kan er geen bewijs voor gevonden worden op deze manier.

Corona

 

Het basis repro­ductie­getal R0 geeft aan op hoeveel nieuwe mensen een besmet iemand het virus over­draagt. Men noemt dit ook simpel­weg de ‘besmet­telijk­heid’. Een besmettingsgetal van 2 betekent dat een drager van de infectie gemiddeld 2 andere mensen zal besmetten. Voor het covid-19 virus zitten de meeste schat­tingen voor R0 tussen de 2 en 3. Daarmee is dit virus besmet­telij­ker dan de sei­zoens­griep, die meestal een R0 van 1 tot 2 heeft. Het covid-19 virus is echter weer veel minder besmet­telijk dan bijvoor­beeld het mazelen­virus, dat een R0 van 12 tot 18 heeft. Hieron­der treft u ter verge­lijking een tabel aan met basis repro­ductie­getal­len voor een aantal bekende ziekten:

 
Ziekte R0
Mazelen 12-18
Polio 5-7
Rode­hond 5-7
Bof 4-7
Aids 2-5
SARS 2-5
Covid-19 2-3
Influen­za 1-2
 

Hoe groter R0 des te sneller neemt het aantal geïnfecteerde mensen toe, en des te moeilijker zal de infectie onder controle te krijgen zijn. Belang­rijk is ook om te weten dat R0 geen constan­te is. R0 is name­lijk mede afhanke­lijk van het aantal contac­ten waarbij besmet­ting moge­lijk is. Vandaar ook de oproep vanuit het ministe­rie om zoveel moge­lijk thuis te blijven en ruim afstand te houden tot anderen. Het concept van het reproductiegetal werd ontwikkeld in het werk van Alfred Lotka (1880-1949), Ronald Ross (1857-1932) en George MacDonald(1903-1967). Hieronder een foto van Lotka:

 

Het effec­tieve repro­ductie­getal
Als iemand immuun is gewor­den, door vaccina­tie of door de ziekte te hebben door­staan, leidt het oppik­ken van het virus niet meer tot een besmet­ting. Voor de bepa­ling van het effec­tieve repro­ductie­getal is van belang welk deel van de bevol­king nog vatbaar is. Geven we die fractie aan met de letter s, dan geldt de formule R = R0 · s.

 

Het effec­tieve repro­ductie­getal R is cruci­aal voor het verloop van de besmet­ting. Bij R > 1 breidt de pande­mie zich verder uit en bij R < 1 dooft de pande­mie op den duur uit. Voor de grens tussen toename en uitdo­ven geldt de formule s = 1/R0.

Het getal e

Het product 1.2.3.4….n wordt genoteerd door n! en noemt men n faculteit. De grootte van de faculteiten neemt zeer snel toe:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
7!=5040
8!=40320
9!=362880
10!=3628800

Even snel nemen dus de waarden van de termen in de volgende som af:

    \[a_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}\]

We kunnen verwachten dat, naarmate n groter wordt, de waarde van a_n zeer weinig zal toenemen en een bepaald getal niet zal overschrijden. We kunnen aantonen dat a_n kleiner blijft dan 3.

Als we in k! elke factor, behalve de eerste, vervangen door 2, dan zien we duidelijk dat  k!> 2^{k-1}. Bijgevolg is a_n kleiner dan 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}. Vanaf de tweede term herken je hierin de som van de termen van een meetkundige rij.De limiet hiervan is \frac{1}{1-0,5}=2. Hieruit volgt dat , voor toenemende n waarden, a_n zeker kleiner is dan 1+2=3.

De getallen a_n zijn termen van een naar boven begrensde , stijgende rij en dus zal die rij convergeren. Die limiet noemen we het getal e. Met a_{12} te berekenen vindt we dat e\approx 2,7182818.

 


Het was de Schotse wiskundige John Napier die het eerst met dit getal geconfronteerd werd, toen hij werkte aan de eerste rekenlinialen.

Het getal werd door Euler het exponentiële getal genoemd. Vandaar ook, waarschijnlijk, de letter e voor dit getal. Het was ook Euler die de meeste eigenschappen van dit getal vond.

Corona virus


Hierboven zie de evolutie van het aantal besmettingen aan het Corona virus in China ( in het blauw); je herkent hierin de typische S-vorm van de logistische functie  met voorschrift

    \[f(x)=\frac{L}{1+e^{-k(x-a)}}\]

Deze functie werd ontdekt door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst(1804-1849). Het beschrijft het verloop van de omvang N(t) van een populatie in functie van de tijd, als de verandering van de populatie-omvang zowel evenredig is met de huidige omvang N(t) van de populatie als met een bepaalde “groeiruimte”. In het begin stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind  stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch naar een bepaalde limiet; Als de populatiegrootte de helft van het maximum bereikt heeft, is de stijging het grootst: daar heeft de exponentiële groei de overhand.