Categorie archieven: Weetjes

De paradox van de onverwachte overhoring

Geplaatst op door

Een leerkracht zegt tegen de klas:

“Volgende week krijgen jullie een overhoring, en die zal onverwacht zijn.”

De leerlingen redeneren dan zo:

  • Op vrijdag kan de overhoring niet zijn, want als ze er tegen donderdag nog niet is geweest, dan weten we vrijdagmorgen zeker dat ze vrijdag komt. Dan is ze dus niet onverwacht.
  • Dus valt vrijdag weg.
  • Maar als vrijdag wegvalt, dan kan ze ook niet op donderdag zijn. Want als ze woensdag nog niet geweest is, weten we dat ze donderdag moet komen.
  • Zo schrappen ze ook woensdag, dinsdag en maandag.

Conclusie van de leerlingen:
zo’n onverwachte overhoring kan helemaal niet bestaan.

Maar dan geeft de leerkracht bijvoorbeeld op woensdag toch een overhoring, en de klas is wél verrast. Dus de overhoring is onverwacht!

Daar zit de paradox:
hun logische redenering lijkt correct, maar toch blijkt de overhoring onverwacht mogelijk.

Je kunt de paradox oplossen door “onverwacht” zwakker en realistischer te lezen:

De overhoring is onverwacht als de leerlingen ze in feite niet verwachten.

Dan is er geen probleem.

Want nadat ze zichzelf hebben overtuigd dat er géén onverwachte overhoring kan komen, verwachten ze er juist geen.
Dus als die op woensdag komt, is ze onverwacht in de gewone betekenis.

Vierkantswortel van een matrix

Geplaatst op door

De vierkantswortel van een matrix

Voor een reëel getal a \ge 0 weten we wat een vierkantswortel is: dat is een getal b waarvoor

    \[ b^2=a. \]

Bij matrices stellen we precies dezelfde vraag.

Definitie

Een vierkantswortel van een matrix A is een matrix B waarvoor

    \[ B^2=A. \]

Met andere woorden: als we B met zichzelf vermenigvuldigen, krijgen we A.

Hierbij moeten we meteen opletten dat de situatie bij matrices subtieler is dan bij gewone getallen:

  • een matrix kan geen vierkantswortel hebben;
  • een matrix kan meerdere vierkantswortels hebben;
  • een vierkantswortel is in het algemeen niet uniek.

Daarom is het vaak beter te spreken van een vierkantswortel van een matrix dan van de vierkantswortel.

Een eerste eenvoudig voorbeeld

Neem de diagonale matrix

    \[ A=\begin{pmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{pmatrix}. \]

Dan is

    \[ B=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} \]

een vierkantswortel van A, want

    \[ B^2= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{pmatrix} =A. \]

Maar ook

    \[ \begin{pmatrix} -2&0\\ 0&3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -2&0\\ 0&-3 \end{pmatrix} \]

zijn vierkantswortels van A.

Zelfs in dit eenvoudige geval is de vierkantswortel dus niet uniek.

De standaardmethode: diagonaliseerbare matrices

De berekening van een vierkantswortel wordt veel eenvoudiger wanneer de matrix diagonaliseerbaar is. Stel dat

    \[ A=PDP^{-1}, \]

waarbij D een diagonale matrix is:

    \[ D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n). \]

Als we voor elke diagonaalwaarde \lambda_i een getal \mu_i kunnen kiezen zodat

    \[ \mu_i^2=\lambda_i, \]

dan is

    \[ \sqrt{D}=\operatorname{diag}(\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n) \]

een vierkantswortel van D.

Daaruit volgt dan onmiddellijk een vierkantswortel van A:

    \[ B=P\sqrt{D}P^{-1}. \]

Inderdaad,

    \[ B^2=(P\sqrt{D}P^{-1})(P\sqrt{D}P^{-1}) = P(\sqrt{D})^2P^{-1} = PDP^{-1} = A. \]

De strategie is dus:

  1. bepaal de eigenwaarden van A;
  2. diagonaliseer A;
  3. neem de vierkantswortel van de diagonale matrix;
  4. keer terug naar de oorspronkelijke basis.

Uitgewerkt voorbeeld

We bekijken de matrix

    \[ A= \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix}. \]

We zoeken een matrix B waarvoor

    \[ B^2=A. \]

Stap 1: eigenwaarden bepalen

Voor een matrix van de vorm

    \[ \begin{pmatrix} a&b\\ b&a \end{pmatrix} \]

zijn de eigenwaarden

    \[ a+b \quad \text{en} \quad a-b. \]

Hier krijgen we dus

    \[ \lambda_1=5+4=9, \qquad \lambda_2=5-4=1. \]

Stap 2: eigenvectoren bepalen

Bij \lambda_1=9 hoort bijvoorbeeld de eigenvector

    \[ v_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \]

en bij \lambda_2=1 hoort

    \[ v_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}. \]

We nemen dus

    \[ P= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} 9&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Dan geldt

    \[ A=PDP^{-1}. \]

Stap 3: de vierkantswortel van D

Een natuurlijke keuze is

    \[ \sqrt{D}= \begin{pmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Stap 4: teruggaan naar de oorspronkelijke basis

We berekenen

    \[ B=P\sqrt{D}P^{-1}. \]

Omdat

    \[ P^{-1}=\frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}, \]

volgt

    \[ B= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}. \]

Eerst vinden we

    \[ P\sqrt{D}= \begin{pmatrix} 3&1\\ 3&-1 \end{pmatrix}. \]

Dus

    \[ B= \frac12 \begin{pmatrix} 3&1\\ 3&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix} = \frac12 \begin{pmatrix} 4&2\\ 2&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}. \]

Stap 5: controle

Nu controleren we:

    \[ \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix}. \]

Dus

    \[ \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix} \]

is inderdaad een vierkantswortel van A.

Niet elke matrix heeft een reële vierkantswortel

Neem bijvoorbeeld

    \[ A= \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}. \]

Als we een reële diagonale vierkantswortel zouden willen nemen, dan zouden we een reëel getal x nodig hebben met

    \[ x^2=-1, \]

en dat bestaat niet in \mathbb{R}.

Dus niet elke reële matrix heeft een reële vierkantswortel. Vooral negatieve eigenwaarden kunnen problemen veroorzaken.

Het mooie geval: symmetrische positief-definiete matrices

Wanneer A een symmetrische matrix is met strikt positieve eigenwaarden, dan bestaat er precies één symmetrische positief-definiete vierkantswortel. Die noemt men de hoofdvierkantswortel van A.

In dat geval kan men schrijven

    \[ A=QDQ^T, \]

waarbij Q orthogonaal is en D diagonaal met positieve diagonaalelementen. Dan is

    \[ \sqrt{A}=Q\sqrt{D}Q^T. \]

Dit is de netjesste en meest natuurlijke situatie.

Besluit

Een vierkantswortel van een matrix A is een matrix B waarvoor

    \[ B^2=A. \]

Voor diagonaliseerbare matrices is de berekening conceptueel eenvoudig:

    \[ A=PDP^{-1} \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{A}=P\sqrt{D}P^{-1}. \]

Men reduceert het probleem dus tot het nemen van vierkantswortels van de eigenwaarden.

Toch moeten we opletten:

  • de vierkantswortel is in het algemeen niet uniek;
  • niet elke matrix heeft een reële vierkantswortel;
  • voor symmetrische positief-definiete matrices bestaat er wel een natuurlijke keuze.

Het uitgewerkte voorbeeld

    \[ A= \begin{pmatrix} 5&4\\ 4&5 \end{pmatrix} \]

laat mooi zien hoe eigenwaarden en diagonaliseerbaarheid leiden tot

    \[ \sqrt{A}= \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2 \end{pmatrix}. \]

[/latexpage]

Wiskunde en Chatgpt 5.2

Geplaatst op door

De voorbije dagen wees Terence Tao erop dat er op de Erdős Problems-website een mijlpaal is bereikt: een open probleem van Erdős (nummer #728) kreeg een oplossing waarbij AI-tools een opvallend grote rol speelden — en de kernstelling werd bovendien formeel geverifieerd in Lean.

Lean is een bewijsassistent : software waarmee je wiskundige definities, stellingen en bewijzen zó precies opschrijft dat de computer stap voor stap kan controleren of alles logisch klopt.

Wat doet Lean concreet?

  • Het definieert objecten: groepen, ringen, verzamelingen, limieten, enz.

  • Het formuleert een stelling in formele taal.

  • Het schrijft een bewijs als een reeks kleine logische stappen (tactieken of termen).

  • Lean accepteert het bewijs alleen als elke stap geldig is volgens de logica én volgens de eerder gedefinieerde begrippen.

Als Lean “QED” bereikt, betekent dat: het bewijs is formeel correct binnen het systeem.

De status op de probleem-pagina is ondertussen:

PROVED (LEAN) – opgelost en het bewijs is in Lean geverifieerd.

Concreet vermeldt de pagina dat Kevin Barreto en ChatGPT-5.2 bewezen hebben dat er (zelfs vrij “symmetrische”) oplossingen bestaan. 

 

En wat is nu juist de rol geweest van Chatgpt?

  1. Een informeel argument werd gegenereerd met een taalmodel (GPT-5.2/ChatGPT-5.2).

  2. Dat argument werd vervolgens geformaliseerd in Lean met hulp van een automatische formaliserings-/theorem-proving tool (“Aristotle” wordt expliciet genoemd), waarna anderen konden nakijken of de formele statement klopt.

  3. Daarna volgden er menselijke controles: klopt de formulering, hoe zit het met trivialiteiten, en is er eerdere literatuur (bv. Pomerance) die verwant is?

Dat laatste is cruciaal: een Lean-check geeft heel veel zekerheid dat de formele proof correct is voor de exacte formele stelling — maar je wil nog steeds menselijke zorg voor (i) interpretatie van het “bedoelde” probleem en (ii) correcte situering in bestaande literatuur. 

In de thread maakt Tao een  heel didactisch punt: wiskunde gaat niet enkel om een proof-object, maar om begrip. Een AI kan een technisch correcte redenering produceren, maar het “rondmaken” — motivering, context, why-this-works, verbanden met eerdere resultaten — blijft essentieel. AI speelde een hoofdrol in het produceren van een bruikbaar argument en in (semi-)automatische formaliseringsstappen, maar het geheel gebeurde in een community-proces met menselijke controle, discussie over interpretatie, en aandacht voor literatuur.

De driehoek van Kepler

Geplaatst op door

De Kepler-driehoek is een bijzondere rechthoekige driehoek die werd bestudeerd door de astronoom en wiskundige Johannes Kepler (1571–1630). Wat deze driehoek uniek maakt, is dat de lengtes van zijn zijden een meetkundige rij vormen en dat het iets te maken heeft met de gulden snede. Kepler schreef ooit: 

“Geometria duas magnas res habet: theoremata Pythagorae et sectionem auream.”
(De meetkunde bezit twee grote schatten: de stelling van Pythagoras en de gulden snede.)

Voor Kepler waren deze twee diep verbonden, en de Kepler-driehoek was voor hem een symbolische en wiskundige schakel tussen beide. We weten dat de gulden snede gegeven wordt door \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} en dat \varphi^2=1+\varphi. Zodoende krijgen we volgende situatie: